微分積分例

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

ステップ 1

$u = 1 + 7 x$ とします。次に $d u = 7 d x$ すると、 $\frac{1}{7} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + 7 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + 7 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 7 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$7$ に $1$ をかけます。

$0 + 7$

ステップ 1.1.4

$0$ と $7$ をたし算します。

$7$

ステップ 1.2

$u = 1 + 7 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$7$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + 7 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$7$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 + 7$

ステップ 1.5.2

$1$ と $7$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

ステップ 2

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{7}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$8$ および $1$ で $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.4

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.5

$\frac{3}{4}$ と $16$ をまとめます。

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.6

$3$ に $16$ をかけます。

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7

$48$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.7.1

$4$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.7.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.7.2.4

$12$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

ステップ 6.2.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

ステップ 6.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

ステップ 6.2.10

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

ステップ 6.2.11

$12$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

ステップ 6.2.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

ステップ 6.2.13

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.13.1

$12$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

ステップ 6.2.13.2

$48$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

ステップ 6.2.14

$\frac{1}{7}$ に $\frac{45}{4}$ をかけます。

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

ステップ 6.2.15

$7$ に $4$ をかけます。

$\frac{45}{28}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{45}{28}$

10進法形式：

$1.60714285 \dots$

帯分数形：

$1 \frac{17}{28}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例