微分積分例

$B (x) = 375 x^{2} - 3750 x^{3}$ , $0 \leq x \leq 0.1$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $375 x^{2} - 3750 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [375 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [375 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [375 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$375$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $375 x^{2}$ の微分係数は $375 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$375 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$375 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $375$ をかけます。

$750 x + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 3750$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3750 x^{3}$ の微分係数は $- 3750 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$750 x - 3750 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$750 x - 3750 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $- 3750$ をかけます。

$750 x - 11250 x^{2}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 11250 x^{2} + 750 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $B (x)$ の一次導関数は $- 11250 x^{2} + 750 x$ です。

$- 11250 x^{2} + 750 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 11250 x^{2} + 750 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 11250 x^{2} + 750 x = 0$

ステップ 1.2.2

$- 750 x$ を $- 11250 x^{2} + 750 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 750 x$ を $- 11250 x^{2}$ で因数分解します。

$- 750 x (15 x) + 750 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- 750 x$ を $750 x$ で因数分解します。

$- 750 x (15 x) - 750 x \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$- 750 x$ を $- 750 x (15 x) - 750 x (- 1)$ で因数分解します。

$- 750 x (15 x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$15 x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$15 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$15 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$15 x - 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $15 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$15 x = 1$

ステップ 1.2.5.2.2

$15 x = 1$ の各項を $15$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$15 x = 1$ の各項を $15$ で割ります。

$\frac{15 x}{15} = \frac{1}{15}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.2.1

$15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{15 x}{15} = \frac{1}{15}$

ステップ 1.2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{15}$

ステップ 1.2.6

最終解は $- 750 x (15 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{1}{15}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $375 x^{2} - 3750 x^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$375 {(0)}^{2} - 3750 {(0)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$375 \cdot 0 - 3750 {(0)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$375$ に $0$ をかけます。

$0 - 3750 {(0)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 3750 \cdot 0$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$- 3750$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{1}{15}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$\frac{1}{15}$ を $x$ に代入します。

$375 {(\frac{1}{15})}^{2} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{15}$ に当てはめます。

$375 \frac{1^{2}}{15^{2}} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$375 \frac{1}{15^{2}} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$15$ を $2$ 乗します。

$375 (\frac{1}{225}) - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$75$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.1.4.1

$75$ を $375$ で因数分解します。

$75 (5) \frac{1}{225} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.2

$75$ を $225$ で因数分解します。

$75 \cdot 5 \frac{1}{75 \cdot 3} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$75 \cdot 5 \frac{1}{75 \cdot 3} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.4.4

式を書き換えます。

$5 (\frac{1}{3}) - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{5}{3} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.6

積の法則を $\frac{1}{15}$ に当てはめます。

$\frac{5}{3} - 3750 \frac{1^{3}}{15^{3}}$

ステップ 1.4.2.2.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{5}{3} - 3750 \frac{1}{15^{3}}$

ステップ 1.4.2.2.1.8

$15$ を $3$ 乗します。

$\frac{5}{3} - 3750 (\frac{1}{3375})$

ステップ 1.4.2.2.1.9

$375$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.1.9.1

$375$ を $- 3750$ で因数分解します。

$\frac{5}{3} + 375 (- 10) \frac{1}{3375}$

ステップ 1.4.2.2.1.9.2

$375$ を $3375$ で因数分解します。

$\frac{5}{3} + 375 \cdot - 10 \frac{1}{375 \cdot 9}$

ステップ 1.4.2.2.1.9.3

共通因数を約分します。

$\frac{5}{3} + 375 \cdot - 10 \frac{1}{375 \cdot 9}$

ステップ 1.4.2.2.1.9.4

式を書き換えます。

$\frac{5}{3} - 10 (\frac{1}{9})$

ステップ 1.4.2.2.1.10

$- 10$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{5}{3} + \frac{- 10}{9}$

ステップ 1.4.2.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{3} - \frac{10}{9}$

ステップ 1.4.2.2.2

$\frac{5}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{9}$

ステップ 1.4.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.4.2.2.3.1

$\frac{5}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{10}{9}$

ステップ 1.4.2.2.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{5 \cdot 3}{9} - \frac{10}{9}$

ステップ 1.4.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 \cdot 3 - 10}{9}$

ステップ 1.4.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.5.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 - 10}{9}$

ステップ 1.4.2.2.5.2

$15$ から $10$ を引きます。

$\frac{5}{9}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (\frac{1}{15}, \frac{5}{9})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$375 {(0)}^{2} - 3750 {(0)}^{3}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$375 \cdot 0 - 3750 {(0)}^{3}$

ステップ 2.1.2.1.2

$375$ に $0$ をかけます。

$0 - 3750 {(0)}^{3}$

ステップ 2.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 3750 \cdot 0$

ステップ 2.1.2.1.4

$- 3750$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 2.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2

$x = 0.1$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$0.1$ を $x$ に代入します。

$375 {(0.1)}^{2} - 3750 {(0.1)}^{3}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$0.1$ を $2$ 乗します。

$375 \cdot 0.01 - 3750 {(0.1)}^{3}$

ステップ 2.2.2.1.2

$375$ に $0.01$ をかけます。

$3.75 - 3750 {(0.1)}^{3}$

ステップ 2.2.2.1.3

$0.1$ を $3$ 乗します。

$3.75 - 3750 \cdot 0.001$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 3750$ に $0.001$ をかけます。

$3.75 - 3.75$

ステップ 2.2.2.2

$3.75$ から $3.75$ を引きます。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (0.1, 0)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $B (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $B (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $B (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{1}{15}, \frac{5}{9})$

最小値： $(0, 0), (0.1, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例