微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 25}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 25}$ を ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 25$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 25$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 1.8

総和則では、 $x^{2} - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

ステップ 1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

ステップ 1.10

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 1.11

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 1.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.5

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.3

簡約します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.4

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.4.2

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 25$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 25$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.10.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.11

総和則では、 $x^{2} - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.13

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.14

分数をまとめます。

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ステップ 2.14.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.14.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.14.3

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.14.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.16

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.19

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.1

$2$ を $2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.20.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.20.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.21

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.22

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.23

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.24

指数を足して ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.24.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.24.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.24.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.24.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 25) - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.25

${(x^{2} - 25)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 25 - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.26

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.27

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.27.1

$0$ から $25$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.27.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.28

$\frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 25}$

ステップ 2.29

$\frac{1}{x^{2} - 25}$ に $\frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.30

指数を足して $x^{2} - 25$ に ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.30.1

$x^{2} - 25$ に ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.30.1.1

$x^{2} - 25$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.30.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.30.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.30.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 2.30.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 25}$ を ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 25$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 25$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

ステップ 4.1.8

総和則では、 $x^{2} - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

ステップ 4.1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

ステップ 4.1.10

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 4.1.11

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 4.1.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 4.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.11.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.11.5

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 5.3

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 25)}^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$

ステップ 6.2

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x^{2} - 25} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} - 25}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 25}$ を ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - 25)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} - 25 = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} - 25 = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺に $25$ を足します。

$x^{2} = 25$

ステップ 6.3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{25}$

ステップ 6.3.3.3

$\pm \sqrt{25}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

ステップ 6.3.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5$

ステップ 6.3.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5$

ステップ 6.3.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5$

ステップ 6.3.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5, - 5$

ステップ 6.4

$\sqrt{x^{2} - 25}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 25 < 0$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

不等式の両辺に $25$ を足します。

$x^{2} < 25$

ステップ 6.5.2

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{25}$

ステップ 6.5.3

方程式を簡約します。

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ステップ 6.5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | < \sqrt{25}$

ステップ 6.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.2.1

$\sqrt{25}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.2.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| x | < \sqrt{5^{2}}$

ステップ 6.5.3.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | < | 5 |$

ステップ 6.5.3.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$| x | < 5$

ステップ 6.5.4

$| x | < 5$ を区分で書きます。

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ステップ 6.5.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 6.5.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x < 5$

ステップ 6.5.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 6.5.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x < 5$

ステップ 6.5.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x < 5 & x \geq 0 \\ - x < 5 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 6.5.5

$x < 5$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x < 5$

ステップ 6.5.6

$x < 0$ のとき、 $- x < 5$ を解きます。

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ステップ 6.5.6.1

$- x < 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.6.1.1

$- x < 5$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

ステップ 6.5.6.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.5.6.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

ステップ 6.5.6.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x > \frac{5}{- 1}$

ステップ 6.5.6.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.6.1.3.1

$5$ を $- 1$ で割ります。

$x > - 5$

ステップ 6.5.6.2

$x > - 5$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 5 < x < 0$

ステップ 6.5.7

解の和集合を求めます。

$- 5 < x < 5$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 5, 5$

ステップ 8

$x = - 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{25}{{({(- 5)}^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{25}{{(25 - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2

$25$ から $25$ を引きます。

$- \frac{25}{0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{25}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{25}{0^{3}}$

ステップ 9.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{25}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例