微分積分例

$f (x) = x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ , $[- 1, 2]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x^{3}$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $- 20$ をかけます。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$28$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $28 x^{2}$ の微分係数は $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ に $28$ をかけます。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ です。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 60 x^{2} + 56 x = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$4 x$ を $- 60 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x) + 56 x = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$4 x$ を $56 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x) + 4 x (14) = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 15 x) + 4 x (14) = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$4 x$ を $4 x (x^{2} - 15 x) + 4 x (14)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 15 x + 14) = 0$

ステップ 1.2.2.2

因数分解。

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ステップ 1.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 15 x + 14$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $14$ で、その和が $- 15$ です。

$- 14, - 1$

ステップ 1.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$4 x ((x - 14) (x - 1)) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x - 14) (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 14$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x - 14$ が $0$ に等しいとします。

$x - 14 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $14$ を足します。

$x = 14$

ステップ 1.2.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.7

最終解は $4 x (x - 14) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 14, 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} - 20 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 20 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 20 \cdot 0 + 28 {(0)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 20$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 28 {(0)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + 28 \cdot 0 - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$28$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 - 4$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 - 4$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 4$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 1.4.2

$x = 14$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$14$ を $x$ に代入します。

${(14)}^{4} - 20 {(14)}^{3} + 28 {(14)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$14$ を $4$ 乗します。

$38416 - 20 {(14)}^{3} + 28 {(14)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$14$ を $3$ 乗します。

$38416 - 20 \cdot 2744 + 28 {(14)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 20$ に $2744$ をかけます。

$38416 - 54880 + 28 {(14)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$14$ を $2$ 乗します。

$38416 - 54880 + 28 \cdot 196 - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$28$ に $196$ をかけます。

$38416 - 54880 + 5488 - 4$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$38416$ から $54880$ を引きます。

$- 16464 + 5488 - 4$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 16464$ と $5488$ をたし算します。

$- 10976 - 4$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$- 10976$ から $4$ を引きます。

$- 10980$

ステップ 1.4.3

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 28 {(1)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 20 {(1)}^{3} + 28 {(1)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.3.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 20 \cdot 1 + 28 {(1)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.3.2.1.3

$- 20$ に $1$ をかけます。

$1 - 20 + 28 {(1)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.3.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 20 + 28 \cdot 1 - 4$

ステップ 1.4.3.2.1.5

$28$ に $1$ をかけます。

$1 - 20 + 28 - 4$

ステップ 1.4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.2.1

$1$ から $20$ を引きます。

$- 19 + 28 - 4$

ステップ 1.4.3.2.2.2

$- 19$ と $28$ をたし算します。

$9 - 4$

ステップ 1.4.3.2.2.3

$9$ から $4$ を引きます。

$5$

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 4), (14, - 10980), (1, 5)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0, - 4), (1, 5)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${(- 1)}^{4} - 20 {(- 1)}^{3} + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 20 {(- 1)}^{3} + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 20 \cdot - 1 + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 20$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 20 + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 20 + 28 \cdot 1 - 4$

ステップ 3.1.2.1.5

$28$ に $1$ をかけます。

$1 + 20 + 28 - 4$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$1$ と $20$ をたし算します。

$21 + 28 - 4$

ステップ 3.1.2.2.2

$21$ と $28$ をたし算します。

$49 - 4$

ステップ 3.1.2.2.3

$49$ から $4$ を引きます。

$45$

ステップ 3.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{4} - 20 {(2)}^{3} + 28 {(2)}^{2} - 4$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$16 - 20 {(2)}^{3} + 28 {(2)}^{2} - 4$

ステップ 3.2.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$16 - 20 \cdot 8 + 28 {(2)}^{2} - 4$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 20$ に $8$ をかけます。

$16 - 160 + 28 {(2)}^{2} - 4$

ステップ 3.2.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$16 - 160 + 28 \cdot 4 - 4$

ステップ 3.2.2.1.5

$28$ に $4$ をかけます。

$16 - 160 + 112 - 4$

ステップ 3.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$16$ から $160$ を引きます。

$- 144 + 112 - 4$

ステップ 3.2.2.2.2

$- 144$ と $112$ をたし算します。

$- 32 - 4$

ステップ 3.2.2.2.3

$- 32$ から $4$ を引きます。

$- 36$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 45), (2, - 36)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 1, 45)$

最小値： $(2, - 36)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例