微分積分例

$f (x) = 9 x^{\frac{2}{3}} - x$ on $0$ , $729$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$9 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$9 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.9

$9$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{9 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.10

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{18 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{18}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.12

$3$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 6}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$ です。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$

ステップ 1.2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

ステップ 1.2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.4

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.4.1

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$x^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$6 = 1 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

$x^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$6 = x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.5

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

方程式を $x^{\frac{1}{3}} = 6$ として書き換えます。

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

ステップ 1.2.5.3

指数を簡約します。

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ステップ 1.2.5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

ステップ 1.2.5.3.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

ステップ 1.2.5.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 6^{3}$

ステップ 1.2.5.3.1.1.2

簡約します。

$x = 6^{3}$

ステップ 1.2.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.3.2.1

$6$ を $3$ 乗します。

$x = 216$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{6}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

ステップ 1.3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{6}{\sqrt[3]{x}} - 1$

ステップ 1.3.2

$\frac{6}{\sqrt[3]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 216$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$216$ を $x$ に代入します。

$9 {(216)}^{\frac{2}{3}} - (216)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$216$ を $6^{3}$ に書き換えます。

$9 {(6^{3})}^{\frac{2}{3}} - (216)$

ステップ 1.4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

ステップ 1.4.1.2.1.3.2

式を書き換えます。

$9 \cdot 6^{2} - (216)$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$6$ を $2$ 乗します。

$9 \cdot 36 - (216)$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$9$ に $36$ をかけます。

$324 - (216)$

ステップ 1.4.1.2.1.6

$- 1$ に $216$ をかけます。

$324 - 216$

ステップ 1.4.1.2.2

$324$ から $216$ を引きます。

$108$

ステップ 1.4.2

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

ステップ 1.4.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

ステップ 1.4.2.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

ステップ 1.4.2.2.2.2

式を書き換えます。

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

ステップ 1.4.2.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$9 \cdot 0 - (0)$

ステップ 1.4.2.2.3.2

$9$ に $0$ をかけます。

$0 - (0)$

ステップ 1.4.2.2.3.3

$0$ から $0$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(216, 108), (0, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

ステップ 2.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

ステップ 2.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

ステップ 2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

ステップ 2.1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$9 \cdot 0 - (0)$

ステップ 2.1.2.3.2

$9$ に $0$ をかけます。

$0 - (0)$

ステップ 2.1.2.3.3

$0$ から $0$ を引きます。

$0$

ステップ 2.2

$x = 729$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$729$ を $x$ に代入します。

$9 {(729)}^{\frac{2}{3}} - (729)$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$729$ を $9^{3}$ に書き換えます。

$9 {(9^{3})}^{\frac{2}{3}} - (729)$

ステップ 2.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

ステップ 2.2.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

ステップ 2.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$9 \cdot 9^{2} - (729)$

ステップ 2.2.2.1.4

$9$ を $2$ 乗します。

$9 \cdot 81 - (729)$

ステップ 2.2.2.1.5

$9$ に $81$ をかけます。

$729 - (729)$

ステップ 2.2.2.1.6

$- 1$ に $729$ をかけます。

$729 - 729$

ステップ 2.2.2.2

$729$ から $729$ を引きます。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (729, 0)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(216, 108)$

最小値： $(0, 0), (729, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例