微分積分例

$h (x) = x^{\frac{1}{5}} - 8$ , $[- 32, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{5}} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.5.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.2.5.2

$1$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.1.1.3

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 0$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ をかけます。

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ です。

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 1.2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$5 \sqrt[5]{x^{4}} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $5$ 乗します。

${(5 \sqrt[5]{x^{4}})}^{5} = 0^{5}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x^{4}}$ を $x^{\frac{4}{5}}$ に書き換えます。

${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1

積の法則を $5 x^{\frac{4}{5}}$ に当てはめます。

$5^{5} {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

$5$ を $5$ 乗します。

$3125 {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$3125 x^{4} = 0^{5}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3125 x^{4} = 0$

ステップ 1.3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.3.1

$3125 x^{4} = 0$ の各項を $3125$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1.1

$3125 x^{4} = 0$ の各項を $3125$ で割ります。

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

ステップ 1.3.3.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1.2.1

$3125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

ステップ 1.3.3.3.1.2.1.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} = \frac{0}{3125}$

ステップ 1.3.3.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1.3.1

$0$ を $3125$ で割ります。

$x^{4} = 0$

ステップ 1.3.3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 1.3.3.3.3

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.3.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 1.3.3.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.3.3.3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{\frac{1}{5}} - 8$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{\frac{1}{5}} - 8$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

${(0^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

ステップ 1.4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

ステップ 1.4.1.2.1.3.2

式を書き換えます。

$0^{1} - 8$

ステップ 1.4.1.2.1.4

指数を求めます。

$0 - 8$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ から $8$ を引きます。

$- 8$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 8)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 32$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 32$ を $x$ に代入します。

${(- 32)}^{\frac{1}{5}} - 8$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$- 32$ を ${(- 2)}^{5}$ に書き換えます。

${({(- 2)}^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

ステップ 2.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

ステップ 2.1.2.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1.3.1

共通因数を約分します。

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

ステップ 2.1.2.1.3.2

式を書き換えます。

${(- 2)}^{1} - 8$

ステップ 2.1.2.1.4

指数を求めます。

$- 2 - 8$

ステップ 2.1.2.2

$- 2$ から $8$ を引きます。

$- 10$

ステップ 2.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{\frac{1}{5}} - 8$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 8$

ステップ 2.2.2.2

$1$ から $8$ を引きます。

$- 7$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 32, - 10), (1, - 7)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $h (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $h (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $h (x)$ の値で発生します。

最大値： $(1, - 7)$

最小値： $(- 32, - 10)$

ステップ 4

微分積分 例

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