微分積分 例

区間から絶対最大値と絶対最小値を求める f(x)=-x^3+8x^2-15x
ステップ 1
関数の一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 1.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.3
をかけます。
ステップ 1.3
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.3.3
をかけます。
ステップ 1.4
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.4.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.4.3
をかけます。
ステップ 2
関数の二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 2.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2.3
をかけます。
ステップ 2.3
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.3.3
をかけます。
ステップ 2.4
定数の規則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.1
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 2.4.2
をたし算します。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 4.1.2
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 4.1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.2.3
をかけます。
ステップ 4.1.3
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 4.1.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.3.3
をかけます。
ステップ 4.1.4
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.4.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 4.1.4.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.4.3
をかけます。
ステップ 4.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 5
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 5.2
二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。
ステップ 5.3
、およびを二次方程式の解の公式に代入し、の値を求めます。
ステップ 5.4
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1.1
乗します。
ステップ 5.4.1.2
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1.2.1
をかけます。
ステップ 5.4.1.2.2
をかけます。
ステップ 5.4.1.3
からを引きます。
ステップ 5.4.1.4
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1.4.1
で因数分解します。
ステップ 5.4.1.4.2
に書き換えます。
ステップ 5.4.1.5
累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 5.4.2
をかけます。
ステップ 5.4.3
を簡約します。
ステップ 5.5
式を簡約し、部の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.5.1
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.5.1.1
乗します。
ステップ 5.5.1.2
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.5.1.2.1
をかけます。
ステップ 5.5.1.2.2
をかけます。
ステップ 5.5.1.3
からを引きます。
ステップ 5.5.1.4
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.5.1.4.1
で因数分解します。
ステップ 5.5.1.4.2
に書き換えます。
ステップ 5.5.1.5
累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 5.5.2
をかけます。
ステップ 5.5.3
を簡約します。
ステップ 5.5.4
に変更します。
ステップ 5.6
式を簡約し、部の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.1
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.1.1
乗します。
ステップ 5.6.1.2
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.1.2.1
をかけます。
ステップ 5.6.1.2.2
をかけます。
ステップ 5.6.1.3
からを引きます。
ステップ 5.6.1.4
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.6.1.4.1
で因数分解します。
ステップ 5.6.1.4.2
に書き換えます。
ステップ 5.6.1.5
累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 5.6.2
をかけます。
ステップ 5.6.3
を簡約します。
ステップ 5.6.4
に変更します。
ステップ 5.7
最終的な答えは両方の解の組み合わせです。
ステップ 6
微分係数が未定義になる値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 7
値を求める臨界点です。
ステップ 8
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 9
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.1.1
で因数分解します。
ステップ 9.1.1.2
共通因数を約分します。
ステップ 9.1.1.3
式を書き換えます。
ステップ 9.1.2
分配則を当てはめます。
ステップ 9.1.3
をかけます。
ステップ 9.2
数を加えて簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.2.1
をたし算します。
ステップ 9.2.2
からを引きます。
ステップ 10
は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極大値です
ステップ 11
のときy値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.1
式の変数で置換えます。
ステップ 11.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 11.2.1.2
乗します。
ステップ 11.2.1.3
二項定理を利用します。
ステップ 11.2.1.4
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1.4.1
乗します。
ステップ 11.2.1.4.2
乗します。
ステップ 11.2.1.4.3
をかけます。
ステップ 11.2.1.4.4
をかけます。
ステップ 11.2.1.4.5
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1.4.5.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 11.2.1.4.5.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 11.2.1.4.5.3
をまとめます。
ステップ 11.2.1.4.5.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1.4.5.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 11.2.1.4.5.4.2
式を書き換えます。
ステップ 11.2.1.4.5.5
指数を求めます。
ステップ 11.2.1.4.6
をかけます。
ステップ 11.2.1.4.7
に書き換えます。
ステップ 11.2.1.4.8
乗します。
ステップ 11.2.1.4.9
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1.4.9.1
で因数分解します。
ステップ 11.2.1.4.9.2
に書き換えます。
ステップ 11.2.1.4.10
累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 11.2.1.5
をたし算します。
ステップ 11.2.1.6
をたし算します。
ステップ 11.2.1.7
積の法則をに当てはめます。
ステップ 11.2.1.8
乗します。
ステップ 11.2.1.9
に書き換えます。
ステップ 11.2.1.10
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1.10.1
分配則を当てはめます。
ステップ 11.2.1.10.2
分配則を当てはめます。
ステップ 11.2.1.10.3
分配則を当てはめます。
ステップ 11.2.1.11
簡約し、同類項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1.11.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1.11.1.1
をかけます。
ステップ 11.2.1.11.1.2
の左に移動させます。
ステップ 11.2.1.11.1.3
根の積の法則を使ってまとめます。
ステップ 11.2.1.11.1.4
をかけます。
ステップ 11.2.1.11.1.5
に書き換えます。
ステップ 11.2.1.11.1.6
正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 11.2.1.11.2
をたし算します。
ステップ 11.2.1.11.3
をたし算します。
ステップ 11.2.1.12
をまとめます。
ステップ 11.2.1.13
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1.13.1
で因数分解します。
ステップ 11.2.1.13.2
共通因数を約分します。
ステップ 11.2.1.13.3
式を書き換えます。
ステップ 11.2.1.14
分配則を当てはめます。
ステップ 11.2.1.15
をかけます。
ステップ 11.2.2
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 11.2.3
の適した因数を掛けて、各式をを公分母とする式で書きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.3.1
をかけます。
ステップ 11.2.3.2
をかけます。
ステップ 11.2.4
公分母の分子をまとめます。
ステップ 11.2.5
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.5.1
分配則を当てはめます。
ステップ 11.2.5.2
をかけます。
ステップ 11.2.5.3
をかけます。
ステップ 11.2.5.4
分配則を当てはめます。
ステップ 11.2.5.5
をかけます。
ステップ 11.2.5.6
をかけます。
ステップ 11.2.5.7
分配則を当てはめます。
ステップ 11.2.5.8
をかけます。
ステップ 11.2.5.9
をかけます。
ステップ 11.2.5.10
をたし算します。
ステップ 11.2.5.11
をたし算します。
ステップ 11.2.6
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 11.2.7
をまとめます。
ステップ 11.2.8
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.8.1
公分母の分子をまとめます。
ステップ 11.2.8.2
をかけます。
ステップ 11.2.8.3
からを引きます。
ステップ 11.2.9
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 11.2.10
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.10.1
をまとめます。
ステップ 11.2.10.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 11.2.11
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.11.1
をかけます。
ステップ 11.2.11.2
からを引きます。
ステップ 11.2.12
くくりだして簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.12.1
に書き換えます。
ステップ 11.2.12.2
で因数分解します。
ステップ 11.2.12.3
で因数分解します。
ステップ 11.2.12.4
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 11.2.13
最終的な答えはです。
ステップ 12
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 13
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1.1.1
で因数分解します。
ステップ 13.1.1.2
共通因数を約分します。
ステップ 13.1.1.3
式を書き換えます。
ステップ 13.1.2
分配則を当てはめます。
ステップ 13.1.3
をかけます。
ステップ 13.1.4
をかけます。
ステップ 13.2
数を加えて簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.2.1
をたし算します。
ステップ 13.2.2
をたし算します。
ステップ 14
は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極小値です
ステップ 15
のときy値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.1
式の変数で置換えます。
ステップ 15.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 15.2.1.2
乗します。
ステップ 15.2.1.3
二項定理を利用します。
ステップ 15.2.1.4
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.4.1
乗します。
ステップ 15.2.1.4.2
乗します。
ステップ 15.2.1.4.3
をかけます。
ステップ 15.2.1.4.4
をかけます。
ステップ 15.2.1.4.5
をかけます。
ステップ 15.2.1.4.6
積の法則をに当てはめます。
ステップ 15.2.1.4.7
乗します。
ステップ 15.2.1.4.8
をかけます。
ステップ 15.2.1.4.9
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.4.9.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 15.2.1.4.9.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 15.2.1.4.9.3
をまとめます。
ステップ 15.2.1.4.9.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.4.9.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 15.2.1.4.9.4.2
式を書き換えます。
ステップ 15.2.1.4.9.5
指数を求めます。
ステップ 15.2.1.4.10
をかけます。
ステップ 15.2.1.4.11
積の法則をに当てはめます。
ステップ 15.2.1.4.12
乗します。
ステップ 15.2.1.4.13
に書き換えます。
ステップ 15.2.1.4.14
乗します。
ステップ 15.2.1.4.15
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.4.15.1
で因数分解します。
ステップ 15.2.1.4.15.2
に書き換えます。
ステップ 15.2.1.4.16
累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 15.2.1.4.17
をかけます。
ステップ 15.2.1.5
をたし算します。
ステップ 15.2.1.6
からを引きます。
ステップ 15.2.1.7
積の法則をに当てはめます。
ステップ 15.2.1.8
乗します。
ステップ 15.2.1.9
に書き換えます。
ステップ 15.2.1.10
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.10.1
分配則を当てはめます。
ステップ 15.2.1.10.2
分配則を当てはめます。
ステップ 15.2.1.10.3
分配則を当てはめます。
ステップ 15.2.1.11
簡約し、同類項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.11.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.11.1.1
をかけます。
ステップ 15.2.1.11.1.2
をかけます。
ステップ 15.2.1.11.1.3
をかけます。
ステップ 15.2.1.11.1.4
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.11.1.4.1
をかけます。
ステップ 15.2.1.11.1.4.2
をかけます。
ステップ 15.2.1.11.1.4.3
乗します。
ステップ 15.2.1.11.1.4.4
乗します。
ステップ 15.2.1.11.1.4.5
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 15.2.1.11.1.4.6
をたし算します。
ステップ 15.2.1.11.1.5
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.11.1.5.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 15.2.1.11.1.5.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 15.2.1.11.1.5.3
をまとめます。
ステップ 15.2.1.11.1.5.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.11.1.5.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 15.2.1.11.1.5.4.2
式を書き換えます。
ステップ 15.2.1.11.1.5.5
指数を求めます。
ステップ 15.2.1.11.2
をたし算します。
ステップ 15.2.1.11.3
からを引きます。
ステップ 15.2.1.12
をまとめます。
ステップ 15.2.1.13
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.1.13.1
で因数分解します。
ステップ 15.2.1.13.2
共通因数を約分します。
ステップ 15.2.1.13.3
式を書き換えます。
ステップ 15.2.1.14
分配則を当てはめます。
ステップ 15.2.1.15
をかけます。
ステップ 15.2.1.16
をかけます。
ステップ 15.2.2
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 15.2.3
の適した因数を掛けて、各式をを公分母とする式で書きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.3.1
をかけます。
ステップ 15.2.3.2
をかけます。
ステップ 15.2.4
公分母の分子をまとめます。
ステップ 15.2.5
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.5.1
分配則を当てはめます。
ステップ 15.2.5.2
をかけます。
ステップ 15.2.5.3
をかけます。
ステップ 15.2.5.4
分配則を当てはめます。
ステップ 15.2.5.5
をかけます。
ステップ 15.2.5.6
をかけます。
ステップ 15.2.5.7
分配則を当てはめます。
ステップ 15.2.5.8
をかけます。
ステップ 15.2.5.9
をかけます。
ステップ 15.2.5.10
をたし算します。
ステップ 15.2.5.11
からを引きます。
ステップ 15.2.6
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 15.2.7
をまとめます。
ステップ 15.2.8
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.8.1
公分母の分子をまとめます。
ステップ 15.2.8.2
をかけます。
ステップ 15.2.8.3
からを引きます。
ステップ 15.2.9
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 15.2.10
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.10.1
をまとめます。
ステップ 15.2.10.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 15.2.11
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.11.1
をかけます。
ステップ 15.2.11.2
をたし算します。
ステップ 15.2.12
くくりだして簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 15.2.12.1
に書き換えます。
ステップ 15.2.12.2
で因数分解します。
ステップ 15.2.12.3
で因数分解します。
ステップ 15.2.12.4
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 15.2.13
最終的な答えはです。
ステップ 16
の極値です。
は極大値です
は極小値です
ステップ 17