微分積分例

$f (θ) = \sin (θ)$ , $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$f' (θ) = \cos (θ)$

ステップ 1.1.2

$θ$ に関する $f (θ)$ の一次導関数は $\cos (θ)$ です。

$\cos (θ)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\cos (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\cos (θ) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (0)$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$θ = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.5

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.5.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 1.2.5.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.6

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.7

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.8

答えをまとめます。

$θ = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $θ$ における $\sin (θ)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$θ = \frac{π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$\frac{π}{2}$ を $θ$ に代入します。

$\sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.4.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 1.4.2

$θ = \frac{3 π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$\frac{3 π}{2}$ を $θ$ に代入します。

$\sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 1.4.2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 1), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, - 1)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(\frac{π}{2}, 1), (- \frac{π}{2}, - 1)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$θ = - \frac{π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- \frac{π}{2}$ を $θ$ に代入します。

$\sin (- \frac{π}{2})$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 3.1.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 3.1.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 3.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 3.2

$θ = \frac{5 π}{6}$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ を $θ$ に代入します。

$\sin (\frac{5 π}{6})$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sin (\frac{π}{6})$

ステップ 3.2.2.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{π}{2}, - 1), (\frac{5 π}{6}, \frac{1}{2})$

ステップ 4

$θ$ の各値に対して求めた $f (θ)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (θ)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (θ)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{π}{2}, 1)$

最小値： $(- \frac{π}{2}, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

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