微分積分例

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$x^{2} + 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5

群による因数分解。

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ステップ 1.1.1.3.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1.3.5.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.1.2

$- 2$ を $1$ プラス $- 3$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.3.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.3

最大公約数 $- x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.7

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.9

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ です。

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$(x - 1) (x + 3) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.3.3

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.3.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.3.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.3.4

最終解は $(x - 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 3$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

ステップ 1.4.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{1 + 3}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 1.4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

ステップ 1.4.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 2}{9 + 3}$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$9$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 2}{12}$

ステップ 1.4.2.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.3.1

$- 2$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.3.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1)}{12}$

ステップ 1.4.2.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.3.1.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

ステップ 1.4.2.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

ステップ 1.4.2.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{6}$

ステップ 1.4.2.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(1, \frac{1}{2})$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

ステップ 3.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{1 + 3}$

ステップ 3.1.2.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{0}{4}$

ステップ 3.1.2.3

$0$ を $4$ で割ります。

$0$

ステップ 3.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

ステップ 3.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{3}{4 + 3}$

ステップ 3.2.2.2.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3}{7}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(1, \frac{1}{2})$

最小値： $(- 1, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例