微分積分例

$x^{2} \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + \ln (x) (2 x)$

ステップ 1.3.4

項を並べ替えます。

$2 x \ln (x) + x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 x \ln (x) + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.6.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

ステップ 2.4.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x \ln (x) + x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + \ln (x) (2 x)$

ステップ 4.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x \ln (x) + x$ です。

$2 x \ln (x) + x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x \ln (x) + x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x \ln (x) + x = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 x \ln (x) = - x$

ステップ 5.3

$2 x \ln (x) = - x$ の各項を $2 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 x \ln (x) = - x$ の各項を $2 x$ で割ります。

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 5.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 5.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

ステップ 5.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 5.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

ステップ 5.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

方程式を $x = e^{- \frac{1}{2}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 5.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

ステップ 9.1.2

$- \frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ を展開します。

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

ステップ 9.1.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

ステップ 9.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

ステップ 9.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

ステップ 9.1.5.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

ステップ 9.1.5.3

式を書き換えます。

$- 1 + 3$

ステップ 9.2

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$2$

ステップ 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 11.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 11.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 11.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 11.2.2.2

簡約します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 11.2.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 11.2.4

$- \frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ を展開します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

ステップ 11.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

ステップ 11.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

ステップ 11.2.7

$\frac{1}{e}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

ステップ 11.2.8

$2$ を $e$ の左に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

ステップ 11.2.9

最終的な答えは $- \frac{1}{2 e}$ です。

$y = - \frac{1}{2 e}$

ステップ 12

$f (x) = x^{2} \ln (x)$ の極値です。

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例