微分積分例

$y = 2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ , $[- 2, 3]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$

ステップ 1.1.1.2

$a$ = $\frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 ({(\frac{1}{5})}^{x} \ln (\frac{1}{5}))$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{x}}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 1.1.1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{5^{x}}$ をまとめます。

$\frac{2}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$\frac{2}{5^{x}}$ と $\ln (\frac{1}{5})$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$ です。

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 \ln (\frac{1}{5}) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

$2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ を簡約します。

$\log_{2.71828182} ({(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

ステップ 1.2.3.1.2

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$\log_{2.71828182} (\frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0$

ステップ 1.2.3.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{5^{2}}) = 0$

ステップ 1.2.3.1.4

$5$ を $2$ 乗します。

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0$

ステップ 1.2.3.2

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$2 {(\frac{1}{5})}^{- 2}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$2 \cdot 5^{2}$

ステップ 2.1.2.2

$5$ を $2$ 乗します。

$2 \cdot 25$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $25$ をかけます。

$50$

ステップ 2.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$2 {(\frac{1}{5})}^{3}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

ステップ 2.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{5^{3}}$

ステップ 2.2.2.1.3

$5$ を $3$ 乗します。

$2 (\frac{1}{125})$

ステップ 2.2.2.2

$2$ と $\frac{1}{125}$ をまとめます。

$\frac{2}{125}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 2, 50)$

最小値： $(3, \frac{2}{125})$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例