微分積分 例

区間から絶対最大値と絶対最小値を求める f(x)=2cos(x)^2 on [0,pi]
on
ステップ 1
臨界点を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.1.1.2
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
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ステップ 1.1.1.2.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 1.1.1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.1.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.1.1.3
をかけます。
ステップ 1.1.1.4
に関するの微分係数はです。
ステップ 1.1.1.5
をかけます。
ステップ 1.1.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 1.2
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
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ステップ 1.2.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 1.2.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 1.2.3
に等しくし、を解きます。
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ステップ 1.2.3.1
に等しいとします。
ステップ 1.2.3.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.3.2.1
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 1.2.3.2.2
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.3.2.2.1
の厳密値はです。
ステップ 1.2.3.2.3
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 1.2.3.2.4
を簡約します。
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ステップ 1.2.3.2.4.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 1.2.3.2.4.2
分数をまとめます。
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ステップ 1.2.3.2.4.2.1
をまとめます。
ステップ 1.2.3.2.4.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 1.2.3.2.4.3
分子を簡約します。
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ステップ 1.2.3.2.4.3.1
をかけます。
ステップ 1.2.3.2.4.3.2
からを引きます。
ステップ 1.2.3.2.5
の周期を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.3.2.5.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 1.2.3.2.5.2
周期の公式ので置き換えます。
ステップ 1.2.3.2.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。の間の距離はです。
ステップ 1.2.3.2.5.4
で割ります。
ステップ 1.2.3.2.6
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 1.2.4
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.4.1
に等しいとします。
ステップ 1.2.4.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.4.2.1
方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中からを取り出します。
ステップ 1.2.4.2.2
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.4.2.2.1
の厳密値はです。
ステップ 1.2.4.2.3
正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第二象限で解を求めます。
ステップ 1.2.4.2.4
からを引きます。
ステップ 1.2.4.2.5
の周期を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.4.2.5.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 1.2.4.2.5.2
周期の公式ので置き換えます。
ステップ 1.2.4.2.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。の間の距離はです。
ステップ 1.2.4.2.5.4
で割ります。
ステップ 1.2.4.2.6
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 1.2.5
最終解はを真にするすべての値です。
、任意の整数
ステップ 1.2.6
答えをまとめます。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 1.3
微分係数が未定義になる値を求めます。
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ステップ 1.3.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 1.4
微分係数がまたは未定義のとき、各におけるの値を求めます。
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ステップ 1.4.1
での値を求めます。
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ステップ 1.4.1.1
に代入します。
ステップ 1.4.1.2
簡約します。
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ステップ 1.4.1.2.1
の厳密値はです。
ステップ 1.4.1.2.2
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 1.4.1.2.3
をかけます。
ステップ 1.4.2
での値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.2.1
に代入します。
ステップ 1.4.2.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.2.2.1
の厳密値はです。
ステップ 1.4.2.2.2
を正数乗し、を得ます。
ステップ 1.4.2.2.3
をかけます。
ステップ 1.4.3
点のすべてを一覧にします。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 2
区間上にない点を除外します。
ステップ 3
一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。
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ステップ 3.1
一次導関数または未定義になる値の周囲で、を分離区間に分割します。
ステップ 3.2
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
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ステップ 3.2.1
式の変数で置換えます。
ステップ 3.2.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.2.1
の値を求めます。
ステップ 3.2.2.2
をかけます。
ステップ 3.2.2.3
の値を求めます。
ステップ 3.2.2.4
をかけます。
ステップ 3.2.2.5
最終的な答えはです。
ステップ 3.3
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.1
式の変数で置換えます。
ステップ 3.3.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.2.1
の値を求めます。
ステップ 3.3.2.2
をかけます。
ステップ 3.3.2.3
の値を求めます。
ステップ 3.3.2.4
をかけます。
ステップ 3.3.2.5
最終的な答えはです。
ステップ 3.4
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.4.1
式の変数で置換えます。
ステップ 3.4.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.4.2.1
の値を求めます。
ステップ 3.4.2.2
をかけます。
ステップ 3.4.2.3
の値を求めます。
ステップ 3.4.2.4
をかけます。
ステップ 3.4.2.5
最終的な答えはです。
ステップ 3.5
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.5.1
式の変数で置換えます。
ステップ 3.5.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.5.2.1
の値を求めます。
ステップ 3.5.2.2
をかけます。
ステップ 3.5.2.3
の値を求めます。
ステップ 3.5.2.4
をかけます。
ステップ 3.5.2.5
最終的な答えはです。
ステップ 3.6
の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。
極大値または極小値ではありません
ステップ 3.7
の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、は極小値です。
は極小値です
ステップ 3.8
の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。
極大値または極小値ではありません
ステップ 3.9
の極値です。
は極小値です
は極小値です
ステップ 4
の各値に対して求めたの値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高いの値で発生し、最小値は最も低いの値で発生します。
絶対最大値はありません
最小値:
ステップ 5