微分積分例

$f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq 2 π$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x + \frac{π}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + \frac{π}{4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x + \frac{π}{4}$ で置き換えます。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x + \frac{π}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ です。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

ステップ 1.1.1.2.3

$\frac{π}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{π}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \sin (x + \frac{π}{4})$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \sin (x + \frac{π}{4})$ です。

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

ステップ 1.2.2

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 1.2.2.2.2

$\sin (x + \frac{π}{4})$ を $1$ で割ります。

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

ステップ 1.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x + \frac{π}{4} = 0$

ステップ 1.2.5

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

ステップ 1.2.7

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.7.1

$π$ から $0$ を引きます。

$x + \frac{π}{4} = π$

ステップ 1.2.7.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.2.7.2.1

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$x = π - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.7.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.7.2.3

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 1.2.7.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.5.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 1.2.7.2.5.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.8

$\sin (x + \frac{π}{4})$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.9

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 1.2.9.1

$2 π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

ステップ 1.2.9.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.9.3

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.9.3.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 1.2.9.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.9.4.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 π - π}{4}$

ステップ 1.2.9.4.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{7 π}{4}$

ステップ 1.2.9.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 1.2.10

$\sin (x + \frac{π}{4})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.11

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\cos (x + \frac{π}{4})$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{3 π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$\frac{3 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$\cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\cos (\frac{3 π + π}{4})$

ステップ 1.4.1.2.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$\cos (\frac{4 π}{4})$

ステップ 1.4.1.2.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\cos (\frac{4 π}{4})$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$\cos (π)$

ステップ 1.4.1.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \cos (0)$

ステップ 1.4.1.2.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 1.4.1.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{7 π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$\frac{7 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$\cos ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\cos (\frac{7 π + π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.2

$7 π$ と $π$ をたし算します。

$\cos (\frac{8 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.3

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.3.1

$4$ を $8 π$ で因数分解します。

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

ステップ 1.4.2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

ステップ 1.4.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

ステップ 1.4.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\cos (\frac{2 π}{1})$

ステップ 1.4.2.2.3.2.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 π)$

ステップ 1.4.2.2.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\cos (0)$

ステップ 1.4.2.2.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, - 1), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, 1)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(\frac{3 π}{4}, - 1), (\frac{7 π}{4}, 1)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\cos ((0) + \frac{π}{4})$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$0$ と $\frac{π}{4}$ をたし算します。

$\cos (\frac{π}{4})$

ステップ 3.1.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.2

$x = 2 π$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2 π$ を $x$ に代入します。

$\cos ((2 π) + \frac{π}{4})$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\cos (2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

ステップ 3.2.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

ステップ 3.2.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 + π}{4})$

ステップ 3.2.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\cos (\frac{8 π + π}{4})$

ステップ 3.2.2.3.2

$8 π$ と $π$ をたし算します。

$\cos (\frac{9 π}{4})$

ステップ 3.2.2.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\cos (\frac{π}{4})$

ステップ 3.2.2.5

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 π, \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{7 π}{4}, 1)$

最小値： $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

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