微分積分例

$f (x) = \cos^{2} (x)$ on $[0, π]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 \cos (x) \sin (x)$ です。

$- 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

ステップ 1.2.3

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 1.2.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.3.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.3.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 1.2.4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 1.2.4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 1.2.4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.5

最終解は $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.6

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\cos^{2} (x)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\cos^{2} (0)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1^{2}$

ステップ 1.4.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{π}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$\frac{π}{2}$ を $x$ に代入します。

$\cos^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0 + π n, 1), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(\frac{π}{2}, 0)$

ステップ 3

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 3.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

ステップ 3.2

一次導関数 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - 2 \cos (- 2) \sin (- 2)$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\cos (- 2)$ の値を求めます。

$f' (- 2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

ステップ 3.2.2.2

$- 2$ に $- 0.41614683$ をかけます。

$f' (- 2) = 0.83229367 \sin (- 2)$

ステップ 3.2.2.3

$\sin (- 2)$ の値を求めます。

$f' (- 2) = 0.83229367 \cdot - 0.90929742$

ステップ 3.2.2.4

$0.83229367$ に $- 0.90929742$ をかけます。

$f' (- 2) = - 0.75680249$

ステップ 3.2.2.5

最終的な答えは $- 0.75680249$ です。

$- 0.75680249$

ステップ 3.3

一次導関数 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ の区間 $(0, \frac{π}{2})$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - 2 \cos (1) \sin (1)$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\cos (1)$ の値を求めます。

$f' (1) = - 2 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

ステップ 3.3.2.2

$- 2$ に $0.5403023$ をかけます。

$f' (1) = - 1.08060461 \sin (1)$

ステップ 3.3.2.3

$\sin (1)$ の値を求めます。

$f' (1) = - 1.08060461 \cdot 0.84147098$

ステップ 3.3.2.4

$- 1.08060461$ に $0.84147098$ をかけます。

$f' (1) = - 0.90929742$

ステップ 3.3.2.5

最終的な答えは $- 0.90929742$ です。

$- 0.90929742$

ステップ 3.4

一次導関数 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ の区間 $(\frac{π}{2}, π)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = - 2 \cos (2) \sin (2)$

ステップ 3.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$\cos (2)$ の値を求めます。

$f' (2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

ステップ 3.4.2.2

$- 2$ に $- 0.41614683$ をかけます。

$f' (2) = 0.83229367 \sin (2)$

ステップ 3.4.2.3

$\sin (2)$ の値を求めます。

$f' (2) = 0.83229367 \cdot 0.90929742$

ステップ 3.4.2.4

$0.83229367$ に $0.90929742$ をかけます。

$f' (2) = 0.75680249$

ステップ 3.4.2.5

最終的な答えは $0.75680249$ です。

$0.75680249$

ステップ 3.5

一次導関数 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ の区間 $(π, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = - 2 \cos (6) \sin (6)$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$\cos (6)$ の値を求めます。

$f' (6) = - 2 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

ステップ 3.5.2.2

$- 2$ に $0.96017028$ をかけます。

$f' (6) = - 1.92034057 \sin (6)$

ステップ 3.5.2.3

$\sin (6)$ の値を求めます。

$f' (6) = - 1.92034057 \cdot - 0.27941549$

ステップ 3.5.2.4

$- 1.92034057$ に $- 0.27941549$ をかけます。

$f' (6) = 0.53657291$

ステップ 3.5.2.5

最終的な答えは $0.53657291$ です。

$0.53657291$

ステップ 3.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 3.7

$x = \frac{π}{2}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = \frac{π}{2}$ は極小値です。

$x = \frac{π}{2}$ は極小値です

ステップ 3.8

$x = π$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 3.9

$f (x) = \cos^{2} (x)$ の極値です。

$x = \frac{π}{2}$ は極小値です

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

最小値： $(\frac{π}{2}, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例