微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x - 4$ ; between $1$ and $6$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 3 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$12 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{2} - 3 + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$12 x^{2} - 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 3$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 3$ です。

$12 x^{2} - 3$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$12 x^{2} = 3$

ステップ 1.2.3

$12 x^{2} = 3$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$12 x^{2} = 3$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{3}{12}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$3$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{3 (1)}{12}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.2.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 1.2.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 1.2.5.3

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.5.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 1.2.5.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{3} - 3 x - 4$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{1}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$\frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{2^{3}} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$4 (\frac{1}{8}) - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 \frac{1}{4 (2)} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} + \frac{- 3}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- 4 + \frac{1 - 3}{2}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$- 4 + \frac{- 2}{2}$

ステップ 1.4.1.2.2.2.2

$- 2$ を $2$ で割ります。

$- 4 - 1$

ステップ 1.4.1.2.2.2.3

$- 4$ から $1$ を引きます。

$- 5$

ステップ 1.4.2

$x = - \frac{1}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- \frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

$4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$4 (- \frac{1}{8}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.5.1

$- \frac{1}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 (\frac{- 1}{8}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.5.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 \frac{- 1}{4 (2)} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$4 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.5.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.7

$- 3 (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 1.4.2.2.1.7.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 4$

ステップ 1.4.2.2.1.7.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 4$

ステップ 1.4.2.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- 4 + \frac{- 1 + 3}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.2.1

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$- 4 + \frac{2}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2.2.2

$2$ を $2$ で割ります。

$- 4 + 1$

ステップ 1.4.2.2.2.2.3

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$- 3$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{2}, - 5), (- \frac{1}{2}, - 3)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1 - 4$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 4$

ステップ 3.1.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 - 3 \cdot 1 - 4$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$4 - 3 - 4$

ステップ 3.1.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$4$ から $3$ を引きます。

$1 - 4$

ステップ 3.1.2.2.2

$1$ から $4$ を引きます。

$- 3$

ステップ 3.2

$x = 6$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$6$ を $x$ に代入します。

$4 {(6)}^{3} - 3 \cdot 6 - 4$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$6$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 216 - 3 \cdot 6 - 4$

ステップ 3.2.2.1.2

$4$ に $216$ をかけます。

$864 - 3 \cdot 6 - 4$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 3$ に $6$ をかけます。

$864 - 18 - 4$

ステップ 3.2.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$864$ から $18$ を引きます。

$846 - 4$

ステップ 3.2.2.2.2

$846$ から $4$ を引きます。

$842$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 3), (6, 842)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(6, 842)$

最小値： $(1, - 3)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例