微分積分 例

区間から絶対最大値と絶対最小値を求める f(x) = square root of 9-x^2
ステップ 1
関数の一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 1.2
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.3
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 1.4
をまとめます。
ステップ 1.5
公分母の分子をまとめます。
ステップ 1.6
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.6.1
をかけます。
ステップ 1.6.2
からを引きます。
ステップ 1.7
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.7.1
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 1.7.2
をまとめます。
ステップ 1.7.3
負の指数法則を利用してを分母に移動させます。
ステップ 1.8
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 1.9
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.10
をたし算します。
ステップ 1.11
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.12
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.13
項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.13.1
をかけます。
ステップ 1.13.2
をまとめます。
ステップ 1.13.3
をまとめます。
ステップ 1.13.4
で因数分解します。
ステップ 1.14
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.14.1
で因数分解します。
ステップ 1.14.2
共通因数を約分します。
ステップ 1.14.3
式を書き換えます。
ステップ 1.15
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 2
関数の二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
およびのとき、であるという積の法則を使って微分します。
ステップ 2.2
およびのとき、であるという商の法則を使って微分します。
ステップ 2.3
の指数を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 2.3.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 2.3.2.2
式を書き換えます。
ステップ 2.4
簡約します。
ステップ 2.5
べき乗則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.5.1
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.5.2
をかけます。
ステップ 2.6
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.6.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 2.6.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.6.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 2.7
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 2.8
をまとめます。
ステップ 2.9
公分母の分子をまとめます。
ステップ 2.10
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.10.1
をかけます。
ステップ 2.10.2
からを引きます。
ステップ 2.11
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.1
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 2.11.2
をまとめます。
ステップ 2.11.3
負の指数法則を利用してを分母に移動させます。
ステップ 2.11.4
をまとめます。
ステップ 2.12
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 2.13
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 2.14
をたし算します。
ステップ 2.15
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.16
掛け算します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.16.1
をかけます。
ステップ 2.16.2
をかけます。
ステップ 2.17
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.18
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.18.1
をまとめます。
ステップ 2.18.2
をまとめます。
ステップ 2.19
乗します。
ステップ 2.20
乗します。
ステップ 2.21
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 2.22
をたし算します。
ステップ 2.23
共通因数を約分します。
ステップ 2.24
式を書き換えます。
ステップ 2.25
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 2.26
公分母の分子をまとめます。
ステップ 2.27
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.27.1
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 2.27.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 2.27.3
をたし算します。
ステップ 2.27.4
で割ります。
ステップ 2.28
を簡約します。
ステップ 2.29
をたし算します。
ステップ 2.30
をたし算します。
ステップ 2.31
を積として書き換えます。
ステップ 2.32
をかけます。
ステップ 2.33
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.33.1
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.33.1.1
乗します。
ステップ 2.33.1.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 2.33.2
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 2.33.3
公分母の分子をまとめます。
ステップ 2.33.4
をたし算します。
ステップ 2.34
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 2.35
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.35.1
をかけます。
ステップ 2.35.2
をたし算します。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 4.1.2
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.2.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 4.1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 4.1.3
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 4.1.4
をまとめます。
ステップ 4.1.5
公分母の分子をまとめます。
ステップ 4.1.6
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.6.1
をかけます。
ステップ 4.1.6.2
からを引きます。
ステップ 4.1.7
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.7.1
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 4.1.7.2
をまとめます。
ステップ 4.1.7.3
負の指数法則を利用してを分母に移動させます。
ステップ 4.1.8
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 4.1.9
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 4.1.10
をたし算します。
ステップ 4.1.11
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 4.1.12
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.13
項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.13.1
をかけます。
ステップ 4.1.13.2
をまとめます。
ステップ 4.1.13.3
をまとめます。
ステップ 4.1.13.4
で因数分解します。
ステップ 4.1.14
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.14.1
で因数分解します。
ステップ 4.1.14.2
共通因数を約分します。
ステップ 4.1.14.3
式を書き換えます。
ステップ 4.1.15
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 4.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 5
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 5.2
分子を0に等しくします。
ステップ 6
微分係数が未定義になる値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
分数指数をもつ式を根に変換します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1
法則を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。
ステップ 6.1.2
に乗じたものは底そのものです。
ステップ 6.2
の分母をに等しいとして、式が未定義である場所を求めます。
ステップ 6.3
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.1
方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。
ステップ 6.3.2
方程式の各辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.2.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 6.3.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.2.2.1
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.2.2.1.1
の指数を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.2.2.1.1.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 6.3.2.2.1.1.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.2.2.1.1.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 6.3.2.2.1.1.2.2
式を書き換えます。
ステップ 6.3.2.2.1.2
簡約します。
ステップ 6.3.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.2.3.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 6.3.3
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.3.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 6.3.3.2
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.3.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 6.3.3.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.3.2.2.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 6.3.3.2.2.2
で割ります。
ステップ 6.3.3.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.3.2.3.1
で割ります。
ステップ 6.3.3.3
方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。
ステップ 6.3.3.4
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.3.4.1
に書き換えます。
ステップ 6.3.3.4.2
正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 6.3.3.5
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.3.5.1
まず、の正の数を利用し、1番目の解を求めます。
ステップ 6.3.3.5.2
次に、の負の値を利用し。2番目の解を求めます。
ステップ 6.3.3.5.3
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
ステップ 6.4
の被開数をより小さいとして、式が未定義である場所を求めます。
ステップ 6.5
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.1
不等式の両辺からを引きます。
ステップ 6.5.2
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.2.1
の各項をで割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。
ステップ 6.5.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.2.2.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 6.5.2.2.2
で割ります。
ステップ 6.5.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.2.3.1
で割ります。
ステップ 6.5.3
不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。
ステップ 6.5.4
方程式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.1
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.1.1
累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 6.5.4.2
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.2.1
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.4.2.1.1
に書き換えます。
ステップ 6.5.4.2.1.2
累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 6.5.4.2.1.3
絶対値は数と0の間の距離です。の間の距離はです。
ステップ 6.5.5
を区分で書きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.5.1
1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。
ステップ 6.5.5.2
が負でない区分では、絶対値を削除します。
ステップ 6.5.5.3
2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。
ステップ 6.5.5.4
が負である区分では、絶対値を取り除きを掛けます。
ステップ 6.5.5.5
区分で書きます。
ステップ 6.5.6
の交点を求めます。
ステップ 6.5.7
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.7.1
の各項をで割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。
ステップ 6.5.7.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.7.2.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 6.5.7.2.2
で割ります。
ステップ 6.5.7.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.5.7.3.1
で割ります。
ステップ 6.5.8
解の和集合を求めます。
または
または
ステップ 6.6
分母がに等しい、平方根の引数がより小さい、または対数の引数が以下の場合、方程式は未定義です。
ステップ 7
値を求める臨界点です。
ステップ 8
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 9
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
分母を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.1.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 9.1.1.2
をかけます。
ステップ 9.1.2
をたし算します。
ステップ 9.1.3
に書き換えます。
ステップ 9.1.4
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 9.1.5
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.5.1
共通因数を約分します。
ステップ 9.1.5.2
式を書き換えます。
ステップ 9.1.6
乗します。
ステップ 9.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.2.1
で因数分解します。
ステップ 9.2.2
共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.2.2.1
で因数分解します。
ステップ 9.2.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 9.2.2.3
式を書き換えます。
ステップ 10
は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極大値です
ステップ 11
のときy値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.1
式の変数で置換えます。
ステップ 11.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 11.2.2
をかけます。
ステップ 11.2.3
をたし算します。
ステップ 11.2.4
に書き換えます。
ステップ 11.2.5
正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 11.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 12
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 13
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1.1
乗します。
ステップ 13.1.2
をかけます。
ステップ 13.2
今日数因数で約分することで式を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.2.1
からを引きます。
ステップ 13.2.2
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.2.2.1
に書き換えます。
ステップ 13.2.2.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 13.2.3
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.2.3.1
共通因数を約分します。
ステップ 13.2.3.2
式を書き換えます。
ステップ 13.2.4
を正数乗し、を得ます。
ステップ 13.2.5
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 13.3
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
未定義
ステップ 14
一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。
極値がありません
ステップ 15