微分積分例

$f (x) = x {(x - 4)}^{2}$ ; $[0, 4]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x ((x - 4) (x - 4))]$

ステップ 1.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 4) - 4 (x - 4))]$

ステップ 1.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]$

ステップ 1.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

ステップ 1.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

ステップ 1.1.1.3.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

ステップ 1.1.1.3.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]$

ステップ 1.1.1.3.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 8 x + 16)]$

ステップ 1.1.1.4

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 8 x + 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16] + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5

微分します。

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ステップ 1.1.1.5.1

総和則では、 $x^{2} - 8 x + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.3

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$x (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.6

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$x (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.7

$2 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.5.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \cdot 1$

ステップ 1.1.1.5.9

$x^{2} - 8 x + 16$ に $1$ をかけます。

$x (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 1.1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$x (2 x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 1.1.1.6.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 1.1.1.6.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 1.1.1.6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 1.1.1.6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 1.1.1.6.2.5

$- 8$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} - 8 \cdot x + x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 1.1.1.6.2.6

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

ステップ 1.1.1.6.2.7

$- 8 x$ から $8 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 16 x + 16$ です。

$3 x^{2} - 16 x + 16$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

ステップ 1.2.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ で和が $b = - 16$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.2.1.1

$- 16$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 16$ を $- 4$ プラス $- 12$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16 = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4) = 0$

ステップ 1.2.2.3

最大公約数 $3 x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 4) (x - 4) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 4 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.4

$3 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$3 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 4 = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $3 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 x = 4$

ステップ 1.2.4.2.2

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.6

最終解は $(3 x - 4) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{4}{3}, 4$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x {(x - 4)}^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{4}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$\frac{4}{3}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{4}{3}) {((\frac{4}{3}) - 4)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.2

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.4.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 12}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$4$ から $12$ を引きます。

$\frac{4}{3} {(\frac{- 8}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{3} {(- \frac{8}{3})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.4.1.2.6.1

積の法則を $- \frac{8}{3}$ に当てはめます。

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{8}{3})}^{2})$

ステップ 1.4.1.2.6.2

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{8^{2}}{3^{2}})$

ステップ 1.4.1.2.7

式を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.7.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{3} (1 \frac{8^{2}}{3^{2}})$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$\frac{8^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{8^{2}}{3^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.8

まとめる。

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.9

指数を足して $3$ に $3^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1.2.9.1

$3$ に $3^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.9.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1 + 2}}$

ステップ 1.4.1.2.9.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.10.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2^{2} \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.10.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}}{3^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.10.3

${(2^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1.2.10.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{3^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.10.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2^{2} \cdot 2^{6}}{3^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{2 + 6}}{3^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.10.5

$2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{2^{8}}{3^{3}}$

ステップ 1.4.1.2.11

指数を求めます。

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ステップ 1.4.1.2.11.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{2^{8}}{27}$

ステップ 1.4.1.2.11.2

$2$ を $8$ 乗します。

$\frac{256}{27}$

ステップ 1.4.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$4$ から $4$ を引きます。

$4 \cdot 0^{2}$

ステップ 1.4.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2.3

$4$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{4}{3}, \frac{256}{27}), (4, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$(0) {((0) - 4)}^{2}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$0$ から $4$ を引きます。

$0 {(- 4)}^{2}$

ステップ 2.1.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$0 \cdot 16$

ステップ 2.1.2.3

$0$ に $16$ をかけます。

$0$

ステップ 2.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$4$ から $4$ を引きます。

$4 \cdot 0^{2}$

ステップ 2.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0$

ステップ 2.2.2.3

$4$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (4, 0)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{4}{3}, \frac{256}{27})$

最小値： $(0, 0), (4, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例