微分積分例

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[0, 4 π]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.1.2.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ です。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = π$

ステップ 1.2.3.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.3.5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 1.2.3.5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.5.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 1.2.3.5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 1.2.3.5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.5.2.2.1

$2 (2 π - \frac{π}{2})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.5.2.2.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 1.2.3.5.2.2.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 1.2.3.5.2.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.3.5.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.5.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.3.5.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$x = 2 π \cdot 2 - π$

ステップ 1.2.3.5.2.2.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$x = 4 π - π$

ステップ 1.2.3.5.2.2.1.6

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = 3 π$

ステップ 1.2.3.6

$\cos (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.3.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.3.6.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 1.2.3.6.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 1.2.3.7

$\cos (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.4

答えをまとめます。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sin (\frac{x}{2})$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$π$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.4.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 1.4.2

$x = 3 π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$3 π$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 1.4.2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(π, 1), (3 π, - 1)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{0}{2})$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\sin (0)$

ステップ 3.1.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$x = 4 π$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$4 π$ を $x$ に代入します。

$\sin (\frac{4 π}{2})$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$2$ を $4 π$ で因数分解します。

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

ステップ 3.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

ステップ 3.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin (\frac{2 π}{1})$

ステップ 3.2.2.1.2.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 π)$

ステップ 3.2.2.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\sin (0)$

ステップ 3.2.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (4 π, 0)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(π, 1)$

最小値： $(3 π, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

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