微分積分例

$f (x) = x^{a} {(1 - x)}^{b}$ , $0 \leq x \leq 1$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{a}$ および $g (x) = {(1 - x)}^{b}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{a} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{b}] + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{b}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$x^{a} (\frac{d}{d u} [u^{b}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = b$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{a} (b u^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- 1 \cdot 1)) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \cdot - 1) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.3.6.2

$- 1$ を $b {(1 - x)}^{b - 1}$ の左に移動させます。

$x^{a} (- 1 \cdot (b {(1 - x)}^{b - 1})) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.3.6.3

$- 1 b$ を $- b$ に書き換えます。

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

ステップ 1.1.1.3.7

$n = a$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} (a x^{a - 1})$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.1

項を並べ替えます。

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$

ステップ 1.1.1.4.2

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$ です。

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b} = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{a} {(1 - (0))}^{b}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$1$ から $0$ を引きます。

$0^{a} \cdot 1^{b}$

ステップ 2.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$0^{a} \cdot 1$

ステップ 2.1.2.3

$0^{a}$ に $1$ をかけます。

$0^{a}$

ステップ 2.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{a} {(1 - (1))}^{b}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 {(1 - (1))}^{b}$

ステップ 2.2.2.2

${(1 - (1))}^{b}$ に $1$ をかけます。

${(1 - (1))}^{b}$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(1 - 1)}^{b}$

ステップ 2.2.2.4

$1$ から $1$ を引きます。

$0^{b}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0^{a}), (1, 0^{b})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

絶対最小値はありません

ステップ 4

微分積分 例

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