微分積分例

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ , $[- 2, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{x^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$- x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 1.1.1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.1.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{- 2} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 1.1.1.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{- 2} - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 1.1.1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 1.1.1.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$- x^{- 2} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 1.1.1.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 1.1.1.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 1.1.1.3.10

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

ステップ 1.1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 3}$

ステップ 1.1.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.1.1.6

$4$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ です。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, x^{3}, 1$

ステップ 1.2.2.2

$x^{2}, x^{3}, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $1, 1, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $x^{2}, x^{3}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 1.2.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 1.2.2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.2.2.5

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 1.2.2.6

$x^{2}$ の因数は $x \cdot x$ です。これは $x$ を $2$ 倍したものです。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ は $2$ 回発生します。

ステップ 1.2.2.7

$x^{3}$ の因数は $x \cdot x \cdot x$ です。これは $x$ を $3$ 倍したものです。

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ は $3$ 回発生します。

ステップ 1.2.2.8

$x^{2}, x^{3}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x \cdot x \cdot x$

ステップ 1.2.2.9

$x \cdot x \cdot x$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.9.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} \cdot x$

ステップ 1.2.2.9.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.9.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.9.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \cdot x^{1}$

ステップ 1.2.2.9.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 1}$

ステップ 1.2.2.9.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3}$

ステップ 1.2.3

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ の各項に $x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.3.1

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ の各項に $x^{3}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.2

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$- x + 4 = 0 x^{3}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$0$ に $x^{3}$ をかけます。

$- x + 4 = 0$

ステップ 1.2.4

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x = - 4$

ステップ 1.2.4.2

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.3.3

$\frac{4}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 1.3.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.3.4.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 1.3.4.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{{(4)}^{2}}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{16}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$2$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{16}$

ステップ 1.4.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.2.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

ステップ 1.4.1.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

ステップ 1.4.1.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

ステップ 1.4.1.2.2

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

ステップ 1.4.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.4.1.2.3.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

ステップ 1.4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 - 1}{8}$

ステップ 1.4.1.2.5

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{8}$

ステップ 1.4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{0} - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{0} - \frac{2}{0}$

ステップ 1.4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(4, \frac{1}{8})$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{- 2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.2

$2$ と ${(- 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.2.1

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.2.2

$- 2$ を $- 1 (- 2)$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.2.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.3.1

$- 2$ を ${(- 2)}^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.2.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.2.1.2.3.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 3.1.2.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 3.1.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - 1}{2}$

ステップ 3.1.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.1

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{2}$

ステップ 3.1.2.2.2.2

$- 2$ を $2$ で割ります。

$- 1$

ステップ 3.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$1$ を $1$ で割ります。

$1 - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - \frac{2}{1}$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ を $1$ で割ります。

$1 - 1 \cdot 2$

ステップ 3.2.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 - 2$

ステップ 3.2.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, - 1), (1, - 1)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 2, - 1), (1, - 1)$

最小値： $(- 2, - 1), (1, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例