微分積分 例

区間から絶対最大値と絶対最小値を求める f(x)=sin(x/2) , [pi/2,(3pi)/2]
,
ステップ 1
臨界点を求めます。
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ステップ 1.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
一次導関数を求めます。
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ステップ 1.1.1.1
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
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ステップ 1.1.1.1.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 1.1.1.1.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 1.1.1.1.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.1.1.2
微分します。
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ステップ 1.1.1.2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.1.1.2.2
をまとめます。
ステップ 1.1.1.2.3
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.1.2.4
をかけます。
ステップ 1.1.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 1.2
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
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ステップ 1.2.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 1.2.2
分子を0に等しくします。
ステップ 1.2.3
について方程式を解きます。
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ステップ 1.2.3.1
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 1.2.3.2
右辺を簡約します。
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ステップ 1.2.3.2.1
の厳密値はです。
ステップ 1.2.3.3
方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。
ステップ 1.2.3.4
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 1.2.3.5
について解きます。
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ステップ 1.2.3.5.1
方程式の両辺にを掛けます。
ステップ 1.2.3.5.2
方程式の両辺を簡約します。
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ステップ 1.2.3.5.2.1
左辺を簡約します。
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ステップ 1.2.3.5.2.1.1
の共通因数を約分します。
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ステップ 1.2.3.5.2.1.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 1.2.3.5.2.1.1.2
式を書き換えます。
ステップ 1.2.3.5.2.2
右辺を簡約します。
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ステップ 1.2.3.5.2.2.1
を簡約します。
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ステップ 1.2.3.5.2.2.1.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 1.2.3.5.2.2.1.2
をまとめます。
ステップ 1.2.3.5.2.2.1.3
公分母の分子をまとめます。
ステップ 1.2.3.5.2.2.1.4
の共通因数を約分します。
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ステップ 1.2.3.5.2.2.1.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 1.2.3.5.2.2.1.4.2
式を書き換えます。
ステップ 1.2.3.5.2.2.1.5
をかけます。
ステップ 1.2.3.5.2.2.1.6
からを引きます。
ステップ 1.2.3.6
の周期を求めます。
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ステップ 1.2.3.6.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 1.2.3.6.2
周期の公式ので置き換えます。
ステップ 1.2.3.6.3
は約。正の数なので絶対値を削除します
ステップ 1.2.3.6.4
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 1.2.3.6.5
をかけます。
ステップ 1.2.3.7
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 1.2.4
答えをまとめます。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 1.3
微分係数が未定義になる値を求めます。
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ステップ 1.3.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 1.4
微分係数がまたは未定義のとき、各におけるの値を求めます。
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ステップ 1.4.1
での値を求めます。
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ステップ 1.4.1.1
に代入します。
ステップ 1.4.1.2
の厳密値はです。
ステップ 1.4.2
での値を求めます。
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ステップ 1.4.2.1
に代入します。
ステップ 1.4.2.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.2.2.1
第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。
ステップ 1.4.2.2.2
の厳密値はです。
ステップ 1.4.2.2.3
をかけます。
ステップ 1.4.3
点のすべてを一覧にします。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 2
区間上にない点を除外します。
ステップ 3
含まれる端点における値を求めます。
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ステップ 3.1
での値を求めます。
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ステップ 3.1.1
に代入します。
ステップ 3.1.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.2.1
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 3.1.2.2
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.2.2.1
をかけます。
ステップ 3.1.2.2.2
をかけます。
ステップ 3.1.2.3
の厳密値はです。
ステップ 3.2
での値を求めます。
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ステップ 3.2.1
に代入します。
ステップ 3.2.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.2.1
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 3.2.2.2
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.2.2.1
をかけます。
ステップ 3.2.2.2.2
をかけます。
ステップ 3.2.2.3
第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。
ステップ 3.2.2.4
の厳密値はです。
ステップ 3.3
点のすべてを一覧にします。
ステップ 4
の各値に対して求めたの値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高いの値で発生し、最小値は最も低いの値で発生します。
最大値:
最小値:
ステップ 5