微分積分例

$f (x) = 5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \sin (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \cos (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$5 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$5 \cos (x) + 5 (- \sin (x))$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 \cos (x) - 5 \sin (x)$ です。

$5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.3.2

$5$ を $1$ で割ります。

$5 + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.4

分数を分解します。

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.6

$- 5$ を $1$ で割ります。

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.7

分数を分解します。

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 1.2.9

$0$ を $1$ で割ります。

$5 - 5 \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 1.2.10

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$5 - 5 \tan (x) = 0$

ステップ 1.2.11

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- 5 \tan (x) = - 5$

ステップ 1.2.12

$- 5 \tan (x) = - 5$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.12.1

$- 5 \tan (x) = - 5$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

ステップ 1.2.12.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.12.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

ステップ 1.2.12.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 5}{- 5}$

ステップ 1.2.12.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.12.3.1

$- 5$ を $- 5$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 1.2.13

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 1.2.14

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.14.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.15

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.16

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.16.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.16.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.16.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.16.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 1.2.16.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.16.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 1.2.16.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 1.2.17

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.17.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 1.2.17.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.17.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 1.2.17.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.2.18

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$5 \sin (\frac{π}{4}) + 5 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$5$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$5$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.1.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$5 \sqrt{2}$ と $5 \sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{10 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.3.1

$2$ を $10 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2}$

ステップ 1.4.1.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 1.4.1.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{2}}{1}$

ステップ 1.4.1.2.2.3.2.4

$5 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$5 \sqrt{2}$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{5 π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$\frac{5 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$5 \sin (\frac{5 π}{4}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$5 (- \sin (\frac{π}{4})) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$5 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.1.3.2

$- 5$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 1.4.2.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 1.4.2.2.1.7

$5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.7.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.7.2

$- 5$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.2.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 5 \sqrt{2}$ から $5 \sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{- 10 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$- 10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.2.3.1

$2$ を $- 10 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2}$

ステップ 1.4.2.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 1.4.2.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{1}$

ステップ 1.4.2.2.2.3.2.4

$- 5 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- 5 \sqrt{2}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 5 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 5 \sqrt{2})$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(\frac{π}{4}, 5 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4}, - 5 \sqrt{2})$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$5 \sin (0) + 5 \cos (0)$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$5 \cdot 0 + 5 \cos (0)$

ステップ 3.1.2.1.2

$5$ に $0$ をかけます。

$0 + 5 \cos (0)$

ステップ 3.1.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 5 \cdot 1$

ステップ 3.1.2.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$0 + 5$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$5$

ステップ 3.2

$x = 2 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 π$ を $x$ に代入します。

$5 \sin (2 π) + 5 \cos (2 π)$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$5 \sin (0) + 5 \cos (2 π)$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$5 \cdot 0 + 5 \cos (2 π)$

ステップ 3.2.2.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$0 + 5 \cos (2 π)$

ステップ 3.2.2.1.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$0 + 5 \cos (0)$

ステップ 3.2.2.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 5 \cdot 1$

ステップ 3.2.2.1.6

$5$ に $1$ をかけます。

$0 + 5$

ステップ 3.2.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$5$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 5), (2 π, 5)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{π}{4}, 5 \sqrt{2})$

最小値： $(\frac{5 π}{4}, - 5 \sqrt{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例