微分積分例

$\frac{4 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.9

$4$ と $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.10.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = - 4 x^{2} + 4$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $- 4 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.2.7

$- 8 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.5.2

$2$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.4.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.4.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.4.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.4.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.6.1

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 16 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.6.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 16 x^{2} - 8) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{1 + 2} - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.9.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.9.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.10.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.10.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.10.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.10.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.10.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.10.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(16 x^{2} - 16) (x^{3} + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} (x^{3} + x) - 16 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} x - 16 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.12.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.12.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.12.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.12.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{1 + 2} - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.12.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.12.2

$16 x^{3}$ から $16 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 0 - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.1.12.3

$16 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.2

$- 8 x^{5}$ と $16 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.3.3

$- 8 x$ から $16 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 16 x^{3} - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$8 x$ を $8 x^{5} - 16 x^{3} - 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1

$8 x$ を $8 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) - 16 x^{3} - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4.1.2

$8 x$ を $- 16 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2}) - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4.1.3

$8 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4.1.4

$8 x$ を $8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4.1.5

$8 x$ を $8 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 8 x (- 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 2 u - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 2.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.5

$x^{2} + 1$ と ${(x^{2} + 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$x^{2} + 1$ を $8 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

ステップ 4.1.2

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.9

$4$ と $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.10.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.10.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 4 x^{2} = - 4$

ステップ 5.3.2

$- 4 x^{2} = - 4$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- 4 x^{2} = - 4$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$- 4$ を $- 4$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 5.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 5.3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 5.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 5.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 5.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1, - 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{8 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

ステップ 9.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{8}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{8 (1 - 3)}{8}$

ステップ 9.3.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{8 \cdot - 2}{8}$

ステップ 9.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$8$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 16}{8}$

ステップ 9.4.2

$- 16$ を $8$ で割ります。

$- 2$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{4}{1^{2} + 1}$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{4}{1 + 1}$

ステップ 11.2.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \frac{4}{2}$

ステップ 11.2.3

$4$ を $2$ で割ります。

$f (1) = 2$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{8 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

ステップ 13.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 8 (1 - 3)}{8}$

ステップ 13.3.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 8 \cdot - 2}{8}$

ステップ 13.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{16}{8}$

ステップ 13.4.2

$16$ を $8$ で割ります。

$2$

ステップ 14

$x = - 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極小値です

ステップ 15

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

ステップ 15.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{- 4}{1 + 1}$

ステップ 15.2.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{- 4}{2}$

ステップ 15.2.3

$- 4$ を $2$ で割ります。

$f (- 1) = - 2$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 16

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ の極値です。

$(1, 2)$ は極大値です

$(- 1, - 2)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例