微分積分例

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{2} + 4$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

ステップ 1.9.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

ステップ 1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

ステップ 1.10.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

ステップ 1.10.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

ステップ 1.10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.10.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

ステップ 1.10.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ です。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

ステップ 2.2

$f (x) = (x + 2) (x - 2)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.4.2

$x + 2$ に $1$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.5

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.7

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.8.2

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.8.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.8.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5.8.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x$ を移動させます。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.7

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

ステップ 2.9.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x - 4) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.3.1.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.3.1.3

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.3.2

$4 x$ から $4 x$ を引きます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.3.3

$- 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.4

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.2

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.2.3

$0$ と $8 x$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{8 x}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.1

$4$ を $8 x$ で因数分解します。

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.2.1

$4$ を $4 x^{4}$ で因数分解します。

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 (x^{4})}$

ステップ 2.10.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

ステップ 2.10.3.1.2.3

式を書き換えます。

$g'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

ステップ 2.10.3.2

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

ステップ 2.10.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.2.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.10.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.10.3.2.2.3

式を書き換えます。

$g'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

ステップ 4.1.9.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

ステップ 4.1.10

簡約します。

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ステップ 4.1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

ステップ 4.1.10.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.10.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

ステップ 4.1.10.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

ステップ 4.1.10.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.10.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

ステップ 4.1.10.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ です。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$(x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 5.3.2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.3.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 5.3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 5.3.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.3.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5.3.4

最終解は $(x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$4 x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

$4 x^{2} = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4 x^{2} = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 6.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 6.2.1.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{4}$

ステップ 6.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 2, 2$

ステップ 8

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$2$ と ${(- 2)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$- 2$ を $- 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.3

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.1

$- 2$ を ${(- 2)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 9.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 9.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 9.2

式を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 1}{4}$

ステップ 9.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 10

$x = - 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極大値です

ステップ 11

$x = - 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{4 (- 2)}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{4 (- 2)}$

ステップ 11.2.1.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$g (- 2) = \frac{8}{4 (- 2)}$

ステップ 11.2.2

式を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$g (- 2) = \frac{8}{- 8}$

ステップ 11.2.2.2

$8$ を $- 8$ で割ります。

$g (- 2) = - 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 12

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2}{{(2)}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

$2$ と ${(2)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

ステップ 13.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.2.1

$2$ を ${(2)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

ステップ 13.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

ステップ 13.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2^{2}}$

ステップ 13.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4}$

ステップ 14

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 15

$x = 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{4 (2)}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$g (2) = \frac{4 + 4}{4 (2)}$

ステップ 15.2.1.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$g (2) = \frac{8}{4 (2)}$

ステップ 15.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$4$ に $2$ をかけます。

$g (2) = \frac{8}{8}$

ステップ 15.2.2.2

$8$ を $8$ で割ります。

$g (2) = 1$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 16

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$ の極値です。

$(- 2, - 1)$ は極大値です

$(2, 1)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例