微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ on $- 7$ , $7$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$x^{2} + 9$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ です。

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$- x^{2} + 9 = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$- x^{2} = - 9$

ステップ 1.2.3.2

$- x^{2} = - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- x^{2} = - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 9$

ステップ 1.2.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 1.2.3.4

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 1.2.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 1.2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 1.2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x}{x^{2} + 9}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$\frac{3}{{(3)}^{2} + 9}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{3}{9 + 9}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{3}{18}$

ステップ 1.4.1.2.2

$3$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (1)}{18}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.2.1

$3$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

ステップ 1.4.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

ステップ 1.4.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 1.4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$\frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 9}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 3}{9 + 9}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{- 3}{18}$

ステップ 1.4.2.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.2.1

$- 3$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.2.1.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1)}{18}$

ステップ 1.4.2.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1.2.1

$3$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

ステップ 1.4.2.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

ステップ 1.4.2.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{6}$

ステップ 1.4.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(3, \frac{1}{6}), (- 3, - \frac{1}{6})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 7$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 7$ を $x$ に代入します。

$\frac{- 7}{{(- 7)}^{2} + 9}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 7}{49 + 9}$

ステップ 2.1.2.1.2

$49$ と $9$ をたし算します。

$\frac{- 7}{58}$

ステップ 2.1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7}{58}$

ステップ 2.2

$x = 7$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$7$ を $x$ に代入します。

$\frac{7}{{(7)}^{2} + 9}$

ステップ 2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{7}{49 + 9}$

ステップ 2.2.2.2

$49$ と $9$ をたし算します。

$\frac{7}{58}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 7, - \frac{7}{58}), (7, \frac{7}{58})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(3, \frac{1}{6})$

最小値： $(- 3, - \frac{1}{6})$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例