微分積分例

$g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.1.1.8

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.1.1.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 1.1.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.1.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 1.1.1.13

項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 1.1.1.13.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 1.1.1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.1.13.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.1.14

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.14.1

$2$ を $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.1.1.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.1.14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{x}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}}}$

ステップ 1.3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

簡約します。

$1 - x^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$1 - x^{2} = 0$

ステップ 1.3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 1.3.3.3.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.3.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.3.3.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.3.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 1.3.3.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 1.3.3.3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 1.3.3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.3.3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.3.3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.3.3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 1.3.4

$\sqrt{1 - x^{2}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 - x^{2} < 0$

ステップ 1.3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.5.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} < - 1$

ステップ 1.3.5.2

$- x^{2} < - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.5.2.1

$- x^{2} < - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.3.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.5.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} > 1$

ステップ 1.3.5.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

ステップ 1.3.5.4

方程式を簡約します。

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ステップ 1.3.5.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.5.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > \sqrt{1}$

ステップ 1.3.5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.5.4.2.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| x | > 1$

ステップ 1.3.5.5

$| x | > 1$ を区分で書きます。

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ステップ 1.3.5.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 1.3.5.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x > 1$

ステップ 1.3.5.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 1.3.5.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x > 1$

ステップ 1.3.5.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 1.3.5.6

$x > 1$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x > 1$

ステップ 1.3.5.7

$- x > 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.5.7.1

$- x > 1$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.3.5.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.5.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.3.5.7.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.3.5.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.5.7.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$x < - 1$

ステップ 1.3.5.8

解の和集合を求めます。

$x < - 1$ または $x > 1$

ステップ 1.3.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt{1 - x^{2}}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt{1 - 0}$

ステップ 1.4.1.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\sqrt{1 + 0}$

ステップ 1.4.1.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{1}$

ステップ 1.4.1.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$1$

ステップ 1.4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.4.2.2.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

ステップ 1.4.2.2.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\sqrt{1 - 1}$

ステップ 1.4.2.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{0}$

ステップ 1.4.2.2.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.4.2.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0$

ステップ 1.4.3

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.3.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

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ステップ 1.4.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.4.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{1 - 1}$

ステップ 1.4.3.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{0}$

ステップ 1.4.3.2.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.4.3.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0$

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 1), (- 1, 0), (1, 0)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(0, 1), (1, 0)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $g (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $g (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $g (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 1)$

最小値： $(1, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例