微分積分例

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ at $(3, 2)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 6 x + 0$

ステップ 1.3.2

$3 x^{2} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 6 x$

ステップ 1.4

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$3 {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.1.1.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.5.1.1.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$3^{1} {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

ステップ 1.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3^{1 + 2} - 6 \cdot 3$

ステップ 1.5.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$3^{3} - 6 \cdot 3$

ステップ 1.5.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 - 6 \cdot 3$

ステップ 1.5.1.3

$- 6$ に $3$ をかけます。

$27 - 18$

ステップ 1.5.2

$27$ から $18$ を引きます。

$9$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $9$ と与えられた点 $(3, 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (2) = 9 \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 2 = 9 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$9 \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 2 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 2 = 9 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 2 = 9 x + 9 \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$9$ に $- 3$ をかけます。

$y - 2 = 9 x - 27$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = 9 x - 27 + 2$

ステップ 2.3.2.2

$- 27$ と $2$ をたし算します。

$y = 9 x - 25$

ステップ 3

微分積分 例

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