微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} + x + 1$ ; $x = 1$

ステップ 1

$x = 1$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = 2 {(1)}^{2} + 1 + 1$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2 {(1)}^{2} + 1 + 1$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = 2 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

ステップ 1.2.3

括弧を削除します。

$y = 2 {(1)}^{2} + 1 + 1$

ステップ 1.2.4

$2 {(1)}^{2} + 1 + 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 2 \cdot 1 + 1 + 1$

ステップ 1.2.4.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = 2 + 1 + 1$

ステップ 1.2.4.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = 3 + 1$

ステップ 1.2.4.2.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$y = 4$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{2} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x + 1 + 0$

ステップ 2.3.3

$4 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$4 x + 1$

ステップ 2.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$4 (1) + 1$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 1$

ステップ 2.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$5$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

傾き $5$ と与えられた点 $(1, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = 5 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = 5 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$5 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = 5 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = 5 x + 5 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$5$ に $- 1$ をかけます。

$y - 4 = 5 x - 5$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = 5 x - 5 + 4$

ステップ 3.3.2.2

$- 5$ と $4$ をたし算します。

$y = 5 x - 1$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例