微分積分例

$y = - \frac{1}{3 x^{3}}$ , $(- 2, \frac{1}{24})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = \frac{1}{24}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3 x^{3}}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 1.3

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

ステップ 1.4

項を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3}) x^{- 4}$

ステップ 1.4.2

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{- 4}$

ステップ 1.4.3

$\frac{3}{3}$ と $x^{- 4}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{- 4}}{3}$

ステップ 1.4.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{3 x^{4}}$

ステップ 1.4.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3 x^{4}}$

ステップ 1.4.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.5

$x = - 2$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{{(- 2)}^{4}}$

ステップ 1.6

$- 2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{16}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{16}$ と与えられた点 $(- 2, \frac{1}{24})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{24}) = \frac{1}{16} \cdot (x - (- 2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{24} = \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{16} \cdot (x + 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{1}{24} = 0 + 0 + \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{1}{24} = \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{24} = \frac{1}{16} x + \frac{1}{16} \cdot 2$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{16}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{1}{24} = \frac{x}{16} + \frac{1}{16} \cdot 2$

ステップ 2.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$y - \frac{1}{24} = \frac{x}{16} + \frac{1}{2 (8)} \cdot 2$

ステップ 2.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$y - \frac{1}{24} = \frac{x}{16} + \frac{1}{2 \cdot 8} \cdot 2$

ステップ 2.3.1.5.3

式を書き換えます。

$y - \frac{1}{24} = \frac{x}{16} + \frac{1}{8}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{24}$ を足します。

$y = \frac{x}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{24}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $24$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \frac{x}{16} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{24}$

ステップ 2.3.2.3.2

$8$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{x}{16} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{16} + \frac{3 + 1}{24}$

ステップ 2.3.2.5

$3$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x}{16} + \frac{4}{24}$

ステップ 2.3.2.6

$4$ と $24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.6.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{x}{16} + \frac{4 (1)}{24}$

ステップ 2.3.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.6.2.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$y = \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

ステップ 2.3.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

ステップ 2.3.2.6.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x}{16} + \frac{1}{6}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{16} x + \frac{1}{6}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例