微分積分例

$f (x) = \sqrt{3 x + 4}$ , $(7, 5)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 7$ と $y = 5$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x + 4}$ を ${(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(3 x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(3 x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(3 x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(3 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(3 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(3 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

ステップ 1.8

総和則では、 $3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1}{2 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.11

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.12

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)$

ステップ 1.13

分数をまとめます。

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ステップ 1.13.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

ステップ 1.13.2

$\frac{1}{2 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14

$x = 7$ で微分係数を求めます。

$\frac{3}{2 {(3 (7) + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.15

簡約します。

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ステップ 1.15.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.15.1.1

$3$ に $7$ をかけます。

$\frac{3}{2 {(21 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.15.1.2

$21$ と $4$ をたし算します。

$\frac{3}{2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.15.1.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.15.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.15.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.15.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.15.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{2 \cdot 5^{1}}$

ステップ 1.15.1.6

指数を求めます。

$\frac{3}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.15.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{10}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{3}{10}$ と与えられた点 $(7, 5)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (5) = \frac{3}{10} \cdot (x - (7))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 5 = \frac{3}{10} \cdot (x - 7)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{3}{10} \cdot (x - 7)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{3}{10} \cdot (x - 7)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 5 = \frac{3}{10} \cdot (x - 7)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 5 = \frac{3}{10} x + \frac{3}{10} \cdot - 7$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{3}{10}$ と $x$ をまとめます。

$y - 5 = \frac{3 x}{10} + \frac{3}{10} \cdot - 7$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{3}{10} \cdot - 7$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{3}{10}$ と $- 7$ をまとめます。

$y - 5 = \frac{3 x}{10} + \frac{3 \cdot - 7}{10}$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ に $- 7$ をかけます。

$y - 5 = \frac{3 x}{10} + \frac{- 21}{10}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 5 = \frac{3 x}{10} - \frac{21}{10}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = \frac{3 x}{10} - \frac{21}{10} + 5$

ステップ 2.3.2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$y = \frac{3 x}{10} - \frac{21}{10} + 5 \cdot \frac{10}{10}$

ステップ 2.3.2.3

$5$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{10} - \frac{21}{10} + \frac{5 \cdot 10}{10}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{3 x}{10} + \frac{- 21 + 5 \cdot 10}{10}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$5$ に $10$ をかけます。

$y = \frac{3 x}{10} + \frac{- 21 + 50}{10}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 21$ と $50$ をたし算します。

$y = \frac{3 x}{10} + \frac{29}{10}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{3}{10} x + \frac{29}{10}$

ステップ 3

微分積分 例

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