微分積分例

$x^{2} = y^{4}$ at $(9, 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 9$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 y^{3} y'$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x = 4 y^{3} y'$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式を $4 y^{3} y' = 2 x$ として書き換えます。

$4 y^{3} y' = 2 x$

ステップ 1.5.2

$4 y^{3} y' = 2 x$ の各項を $4 y^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$4 y^{3} y' = 2 x$ の各項を $4 y^{3}$ で割ります。

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

ステップ 1.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

ステップ 1.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

ステップ 1.5.2.2.2

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

ステップ 1.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

ステップ 1.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.3.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

ステップ 1.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.2.1

$2$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

ステップ 1.7

$y = 3$ と $x = 9$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$\frac{9}{2 y^{3}}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $3$ で置換えます。

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

ステップ 1.7.3

式を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

ステップ 1.7.3.2

$2$ に $27$ をかけます。

$\frac{9}{54}$

ステップ 1.7.4

$9$ と $54$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{9 (1)}{54}$

ステップ 1.7.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.2.1

$9$ を $54$ で因数分解します。

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

ステップ 1.7.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

ステップ 1.7.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{6}$ と与えられた点 $(9, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{6}$ と $x$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

ステップ 2.3.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

ステップ 2.3.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 3$ と $6$ をたし算します。

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

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