微分積分例

$y = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $(5, 11)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 5$ と $y = 11$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{2} - 8 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$4 x - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x - 8 + 0$

ステップ 1.4.2

$4 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$4 x - 8$

ステップ 1.5

$x = 5$ で微分係数を求めます。

$4 (5) - 8$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

$4$ に $5$ をかけます。

$20 - 8$

ステップ 1.6.2

$20$ から $8$ を引きます。

$12$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $12$ と与えられた点 $(5, 11)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (11) = 12 \cdot (x - (5))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 11 = 12 \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$12 \cdot (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 11 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 11 = 12 \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 11 = 12 x + 12 \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.4

$12$ に $- 5$ をかけます。

$y - 11 = 12 x - 60$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $11$ を足します。

$y = 12 x - 60 + 11$

ステップ 2.3.2.2

$- 60$ と $11$ をたし算します。

$y = 12 x - 49$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例