微分積分例

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = \frac{1}{3}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.4.2

$3 e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.4.4

$e^{x}$ を $e^{x} x + 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.4.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.2

$e^{x}$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.5

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

ステップ 1.6.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

ステップ 1.6.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

ステップ 1.6.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2}{3^{2}}$

ステップ 1.6.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{2}{9}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{2}{9}$ と与えられた点 $(0, \frac{1}{3})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

ステップ 2.3.1.2

$\frac{2}{9}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $\frac{1}{3}$ を足します。

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例