微分積分例

$f (x) = \sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ at $x = - \frac{π}{3}$

ステップ 1

$x = - \frac{π}{3}$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$- \frac{π}{3}$ を $x$ に代入します。

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

ステップ 1.2.2

$\sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$y = \sec (\frac{5 π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

ステップ 1.2.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$y = \sec (\frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

ステップ 1.2.2.1.3

$\sec (\frac{π}{3})$ の厳密値は $2$ です。

$y = 2 + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

ステップ 1.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - \frac{π}{3}$ と $y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\sec (x) \tan (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\sec (x) \tan (x) + 0 + 0$

ステップ 2.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sec (x) \tan (x)$ と $0$ をたし算します。

$\sec (x) \tan (x) + 0$

ステップ 2.4.2

$\sec (x) \tan (x)$ と $0$ をたし算します。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 2.5

$x = - \frac{π}{3}$ で微分係数を求めます。

$\sec (- \frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\sec (\frac{5 π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

ステップ 2.6.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

ステップ 2.6.3

$\sec (\frac{π}{3})$ の厳密値は $2$ です。

$2 \tan (- \frac{π}{3})$

ステップ 2.6.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$2 \tan (\frac{5 π}{3})$

ステップ 2.6.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第四象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- \tan (\frac{π}{3}))$

ステップ 2.6.6

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$2 (- \sqrt{3})$

ステップ 2.6.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sqrt{3}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

傾き $- 2 \sqrt{3}$ と与えられた点 $(- \frac{π}{3}, 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}) = - 2 \sqrt{3} \cdot (x - (- \frac{π}{3}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = 0 + 0 - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

ステップ 3.3.1.4

$- 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.4.1

$\frac{π}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

ステップ 3.3.1.4.2

$\frac{π \cdot - 2}{3}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.1

$- 2$ を $π$ の左に移動させます。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺に $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ を足します。

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

ステップ 3.3.2.3

$- 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ と $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ について因数を並べ替えます。

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.3.2.3.2

$- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ と $\frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ をたし算します。

$y = - 2 \sqrt{3} x + 0 + 3$

ステップ 3.3.2.3.3

$- 2 \sqrt{3} x$ と $0$ をたし算します。

$y = - 2 \sqrt{3} x + 3$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例