微分積分例

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ ; , $x = 1$

ステップ 1

$x = 1$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

ステップ 1.2

$\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

ステップ 1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{1}}$

ステップ 1.2.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = 1 + \frac{2}{1}$

ステップ 1.2.2.3

$2$ を $1$ で割ります。

$y = 1 + 2$

ステップ 1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = 3$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

ステップ 2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

ステップ 2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

ステップ 2.2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

ステップ 2.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 2.3.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.3.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.3.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.3.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.6

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 2.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 2.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 2.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 2.3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 2.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 2.3.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x^{- 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

ステップ 2.3.14

指数を足して $x^{- \frac{1}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

ステップ 2.3.14.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.14.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.14.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.14.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.14.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.14.5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.14.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 2.3.16

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3.17

$- 2$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3.18

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.19.1

$2$ を $2 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 2.3.19.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3.19.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3.20

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2 \cdot 1} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.6.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.6.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

ステップ 2.6.1.4

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

ステップ 2.6.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.6.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} - 1$

ステップ 2.6.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.6.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.6.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 - 2}{2}$

ステップ 2.6.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1}{2}$

ステップ 2.6.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

傾き $- \frac{1}{2}$ と与えられた点 $(1, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y - 3 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.5

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.3.1.5.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$y - 3 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3$

ステップ 3.3.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.3.2.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 6}{2}$

ステップ 3.3.2.5.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例