微分積分例

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4}$ at $x = - 1$

ステップ 1

$x = - 1$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$y = \frac{1}{6} \cdot 1$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{1}{6}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - 1$ と $y = \frac{1}{6}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{6} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} (4 x^{3})$

ステップ 2.3

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{4}{6} x^{3}$

ステップ 2.3.2

$\frac{4}{6}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{6}$

ステップ 2.3.3

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{6}$

ステップ 2.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)}$

ステップ 2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{3}}{3}$

ステップ 2.4

$x = - 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{2 {(- 1)}^{3}}{3}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{2 \cdot - 1}{3}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2}{3}$

ステップ 2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \frac{2}{3}$ と与えられた点 $(- 1, \frac{1}{6})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{6}) = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

ステップ 3.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 3.3.1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 3.3.1.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{6}$ を足します。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

ステップ 3.3.2.2

$- \frac{2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{6}$

ステップ 3.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.2.3.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}$

ステップ 3.3.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{6}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 \cdot 2 + 1}{6}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 1}{6}$

ステップ 3.3.2.5.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 3}{6}$

ステップ 3.3.2.6

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.6.1

$- 3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.6.1.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 (- 1)}{6}$

ステップ 3.3.2.6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.6.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.6.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.6.1.2.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.3.2.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

ステップ 4

微分積分 例

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