微分積分例

$y = \sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ , $(0, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $7 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

ステップ 1.2.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

ステップ 1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

ステップ 1.2.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

ステップ 1.2.4

$7$ に $1$ をかけます。

$\cos (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

ステップ 1.2.5

$7$ を $\cos (7 x)$ の左に移動させます。

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (7 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (7 x)$ とします。

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

ステップ 1.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cos (7 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

ステップ 1.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (7 x)$ で置き換えます。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $7 x$ とします。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 1.3.2.2

$u_{3}$ に関する $\sin (u_{3})$ の微分係数は $\cos (u_{3})$ です。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 1.3.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 1.3.3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \cdot 1))$

ステップ 1.3.5

$7$ に $1$ をかけます。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \cdot 7)$

ステップ 1.3.6

$7$ を $\cos (7 x)$ の左に移動させます。

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (7 \cdot \cos (7 x))$

ステップ 1.3.7

$7$ に $2$ をかけます。

$7 \cos (7 x) + 14 \sin (7 x) \cos (7 x)$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$14 \cos (7 x) \sin (7 x) + 7 \cos (7 x)$

ステップ 1.5

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$14 \cos (7 (0)) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$7$ に $0$ をかけます。

$14 \cos (0) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

ステップ 1.6.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$14 \cdot 1 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

ステップ 1.6.1.3

$14$ に $1$ をかけます。

$14 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

ステップ 1.6.1.4

$7$ に $0$ をかけます。

$14 \sin (0) + 7 \cos (7 (0))$

ステップ 1.6.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$14 \cdot 0 + 7 \cos (7 (0))$

ステップ 1.6.1.6

$14$ に $0$ をかけます。

$0 + 7 \cos (7 (0))$

ステップ 1.6.1.7

$7$ に $0$ をかけます。

$0 + 7 \cos (0)$

ステップ 1.6.1.8

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 7 \cdot 1$

ステップ 1.6.1.9

$7$ に $1$ をかけます。

$0 + 7$

ステップ 1.6.2

$0$ と $7$ をたし算します。

$7$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $7$ と与えられた点 $(0, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 7 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 7 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 7 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$y = 7 x$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例