微分積分例

$f (x) = \ln^{3} (x)$ at $x = 5$

ステップ 1

$x = 5$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$y = \ln ({(5)}^{3})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \ln (5^{3})$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = \ln ({(5)}^{3})$

ステップ 1.2.3

$5$ を $3$ 乗します。

$y = \ln (125)$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 5$ と $y = \ln (125)$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を ${(x)}^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{3}]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{3}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を ${(x)}^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

ステップ 2.2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$3$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{3}{x^{3}} x^{2}$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{3}{x^{3}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 2.2.2.3

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

ステップ 2.2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.3.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

ステップ 2.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

ステップ 2.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{x}$

ステップ 2.3

$x = 5$ で微分係数を求めます。

$\frac{3}{5}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{3}{5}$ と与えられた点 $(5, \ln (125))$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\ln (125)) = \frac{3}{5} \cdot (x - (5))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \ln (125) = \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{3}{5} \cdot (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \ln (125) = 0 + 0 + \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \ln (125) = \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \ln (125) = \frac{3}{5} x + \frac{3}{5} \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{3}{5}$ と $x$ をまとめます。

$y - \ln (125) = \frac{3 x}{5} + \frac{3}{5} \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.5

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$y - \ln (125) = \frac{3 x}{5} + \frac{3}{5} \cdot (5 (- 1))$

ステップ 3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$y - \ln (125) = \frac{3 x}{5} + \frac{3}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.3

式を書き換えます。

$y - \ln (125) = \frac{3 x}{5} + 3 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y - \ln (125) = \frac{3 x}{5} - 3$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\ln (125)$ を足します。

$y = \frac{3 x}{5} - 3 + \ln (125)$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{3}{5} x - 3 + \ln (125)$

ステップ 4

微分積分 例

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