微分積分例

$f (x) = \sqrt{x + 4}$ at $x = 5$

ステップ 1

$x = 5$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{(5) + 4}$

ステップ 1.2

$\sqrt{(5) + 4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$5$ と $4$ をたし算します。

$y = \sqrt{9}$

ステップ 1.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{3^{2}}$

ステップ 1.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 3$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 5$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 4}$ を ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 2.8

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.10

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

ステップ 2.11

式を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.11.2

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.12

$x = 5$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2 {((5) + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.13.1.1

$5$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.13.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.13.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

ステップ 2.13.1.5

指数を求めます。

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.13.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{1}{6}$ と与えられた点 $(5, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (5))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{6} \cdot (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{1}{6}$ と $x$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.5

$\frac{1}{6}$ と $- 5$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 5}{6}$

ステップ 3.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{5}{6}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = \frac{x}{6} - \frac{5}{6} + 3$

ステップ 3.3.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{6} - \frac{5}{6} + 3 \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 3.3.2.3

$3$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$y = \frac{x}{6} - \frac{5}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 5 + 3 \cdot 6}{6}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

$3$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 5 + 18}{6}$

ステップ 3.3.2.5.2

$- 5$ と $18$ をたし算します。

$y = \frac{x}{6} + \frac{13}{6}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{6} x + \frac{13}{6}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例