微分積分例

$y = \sqrt{2 x}$ at $(18, 6)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 18$ と $y = 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$2^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.8

分数の前に負数を移動させます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.10

$2^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.11.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.12.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 1.12.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13

$x = 18$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(18)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14

括弧を削除します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ と与えられた点 $(18, 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (6) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (18))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

ステップ 2.3.1.2.2

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

ステップ 2.3.1.2.3

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ と $- 18$ をまとめます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3.1.3.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $18^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18 \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3.1.3.3

指数を足して $18$ に $18^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.3.3.1

$18$ に $18^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 2.3.1.3.3.1.1

$18$ を $1$ 乗します。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1} \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3.1.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3.1.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3.1.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3.1.3.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3.1.3.4

商の法則 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ の累乗を利用します。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(\frac{18}{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.1.3.5

$18$ を $2$ で割ります。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 9^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.1.3.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.1.3.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.3.1.3.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.3.8.1

共通因数を約分します。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.3.1.3.8.2

式を書き換えます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{1}$

ステップ 2.3.1.3.9

指数を求めます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3$

ステップ 2.3.1.3.10

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3 + 6$

ステップ 2.3.2.2

$- 3$ と $6$ をたし算します。

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + 3$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + 3$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例