微分積分例

$y = \frac{x^{2}}{4 + x}$ , $(1, \frac{1}{5})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = \frac{1}{5}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 4 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $4 + x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (4 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $4 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 \cdot 4 + 2 x) x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{8 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{8 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{8 x + x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + 8 x}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$x$ を $x^{2} + 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + 8 x}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.2

$x$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 8}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 8$ で因数分解します。

$\frac{x (x + 8)}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{(1) ((1) + 8)}{{((1) + 4)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$1 + 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 8}{{(1 + 4)}^{2}}$

ステップ 1.5.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1 + 8}{5^{2}}$

ステップ 1.5.2.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 + 8}{25}$

ステップ 1.5.3

$1$ と $8$ をたし算します。

$\frac{9}{25}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{9}{25}$ と与えられた点 $(1, \frac{1}{5})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{5}) = \frac{9}{25} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{9}{25} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{1}{5} = 0 + 0 + \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} x + \frac{9}{25} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{9}{25}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{9}{25} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{9}{25} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{9}{25}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{9 \cdot - 1}{25}$

ステップ 2.3.1.5.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{- 9}{25}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{5}$ を足します。

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{1}{5}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $25$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{5}{5 \cdot 5}$

ステップ 2.3.2.3.2

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{5}{25}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{9 x}{25} + \frac{- 9 + 5}{25}$

ステップ 2.3.2.5

$- 9$ と $5$ をたし算します。

$y = \frac{9 x}{25} + \frac{- 4}{25}$

ステップ 2.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{4}{25}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{9}{25} x - \frac{4}{25}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例