微分積分例

$y^{2} = x^{3} - 6 x - 3$ at $(- 2, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x - 3)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

微分します。

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ステップ 1.3.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3.2.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 6 + 0$

ステップ 1.3.3.2

$3 x^{2} - 6$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 6$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' = 3 x^{2} - 6$

ステップ 1.5

$2 y y' = 3 x^{2} - 6$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2 y y' = 3 x^{2} - 6$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

ステップ 1.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

ステップ 1.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 6}{2 y}$

ステップ 1.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.3.1.1

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1.1.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y}$

ステップ 1.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1.1.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (y)}$

ステップ 1.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 3}{2 y}$

ステップ 1.5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 3}{y}$

ステップ 1.5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{3}{y}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{3}{y}$

ステップ 1.7

$y = 1$ と $x = - 2$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 y} - \frac{3}{y}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $1$ で置換えます。

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

${(- 2)}^{2}$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.3.1.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{3 {(- 1 (2))}^{2}}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3.1.2

積の法則を $- 1 (2)$ に当てはめます。

$\frac{3 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 (1 \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3.1.4

$2^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 2^{2}}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3.1.5

$2$ を $3 \cdot 2^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (1)} - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.3.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot 1} - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot 2}{1} - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3.1.6.3

$3 \cdot 2$ を $1$ で割ります。

$3 \cdot 2 - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$6 - \frac{3}{1}$

ステップ 1.7.3.3

$3$ を $1$ で割ります。

$6 - 1 \cdot 3$

ステップ 1.7.3.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 - 3$

ステップ 1.7.4

$6$ から $3$ を引きます。

$3$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $3$ と与えられた点 $(- 2, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 3 \cdot (x - (- 2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 3 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$3 \cdot (x + 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = 3 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot 2$

ステップ 2.3.1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$y - 1 = 3 x + 6$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 3 x + 6 + 1$

ステップ 2.3.2.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$y = 3 x + 7$

ステップ 3

微分積分 例

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