微分積分例

$f (x) = (- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 x + 3)$ , $x = 0$

ステップ 1

$x = 0$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = (- 5 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

ステップ 1.2.3

$(- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = (- 5 \cdot 0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 5$ に $0$ をかけます。

$y = (0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

ステップ 1.2.3.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$y = (0 + 0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

ステップ 1.2.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = (0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

ステップ 1.2.3.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$y = - 2 (- 2 \cdot 0 + 3)$

ステップ 1.2.3.2.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$y = - 2 (0 + 3)$

ステップ 1.2.3.2.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$y = - 2 \cdot 3$

ステップ 1.2.3.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$y = - 6$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = - 6$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = - 5 x^{2} + 5 x - 2$ および $g (x) = - 2 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 2 x + 3] + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $- 2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

ステップ 2.2.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

ステップ 2.2.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

ステップ 2.2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + 0) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

ステップ 2.2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \cdot - 2 + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

ステップ 2.2.6.2

$- 2$ を $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

ステップ 2.2.7

総和則では、 $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 2.2.8

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 2.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 2.2.10

$2$ に $- 5$ をかけます。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 2.2.11

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 2.2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 2.2.13

$5$ に $1$ をかけます。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 2.2.14

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + 0)$

ステップ 2.2.15

$- 10 x + 5$ と $0$ をたし算します。

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

ステップ 2.3.4

分配則を当てはめます。

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5

項をまとめます。

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ステップ 2.3.5.1

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$10 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$10 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$10 x^{2} - 10 x + 4 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.4

$- 10$ に $- 2$ をかけます。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x \cdot x + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.5

$x$ を $1$ 乗します。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.6

$x$ を $1$ 乗します。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{1 + 1} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.9

$- 10$ に $3$ をかけます。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.10

$5$ に $- 2$ をかけます。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 3 \cdot 5$

ステップ 2.3.5.11

$3$ に $5$ をかけます。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 15$

ステップ 2.3.5.12

$- 30 x$ から $10 x$ を引きます。

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 40 x + 15$

ステップ 2.3.5.13

$10 x^{2}$ と $20 x^{2}$ をたし算します。

$30 x^{2} - 10 x + 4 - 40 x + 15$

ステップ 2.3.5.14

$- 10 x$ から $40 x$ を引きます。

$30 x^{2} - 50 x + 4 + 15$

ステップ 2.3.5.15

$4$ と $15$ をたし算します。

$30 x^{2} - 50 x + 19$

ステップ 2.4

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$30 {(0)}^{2} - 50 \cdot 0 + 19$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$30 \cdot 0 - 50 \cdot 0 + 19$

ステップ 2.5.1.2

$30$ に $0$ をかけます。

$0 - 50 \cdot 0 + 19$

ステップ 2.5.1.3

$- 50$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 19$

ステップ 2.5.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 19$

ステップ 2.5.2.2

$0$ と $19$ をたし算します。

$19$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $19$ と与えられた点 $(0, - 6)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 6) = 19 \cdot (x - (0))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 6 = 19 \cdot (x + 0)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y + 6 = 19 x$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$y = 19 x - 6$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例