微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

ステップ 1.1.2

$\frac{x}{2}$ と $\ln (x^{2})$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4

項を簡約します。

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ステップ 1.4.4.1

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4.2

$\frac{2}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

ステップ 1.4.6

$\ln (x^{2})$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.5.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

ステップ 1.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

ステップ 1.5.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

ステップ 1.5.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (x^{2})$ をまとめます。

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

ステップ 1.5.4.2

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2})$ を展開します。

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

ステップ 1.5.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

ステップ 1.5.4.3.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) + 1$

ステップ 1.6

$x = - 1$ で微分係数を求めます。

$\ln (- 1) + 1$

ステップ 1.7

負の数の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 2

直線の傾きは未定義です。つまり、 $x = - 1$ においてx軸に垂直です。

$x = - 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例