微分積分例

$f (x) = - 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ at $x = \frac{π}{4}$

ステップ 1

$x = \frac{π}{4}$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.2

$- 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$y = - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{- 3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.2.2

項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y = - 2 + \frac{- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

ステップ 1.2.2.2.2

$- 3 \sqrt{2}$ と $3 \sqrt{2}$ をたし算します。

$y = - 2 + \frac{0}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

ステップ 1.2.2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$y = - 2 + 0 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

ステップ 1.2.2.2.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{π}{4}$ と $y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \cos (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ の微分係数は $0$ です。

$3 \sin (x) + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

ステップ 2.3.3

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$3 \sin (x) + 0 + 0 + 0$

ステップ 2.4

項をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$3 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$3 \sin (x) + 0 + 0$

ステップ 2.4.2

$3 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$3 \sin (x) + 0$

ステップ 2.4.3

$3 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$3 \sin (x)$

ステップ 2.5

$x = \frac{π}{4}$ で微分係数を求めます。

$3 \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.6.2

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ と与えられた点 $(\frac{π}{4}, - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

ステップ 3.3.1.5

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{π}{4}$ をかけます。

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.3.1.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺に $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ を足します。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

ステップ 3.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} π}{8}$

ステップ 3.3.2.4

$- 3 \sqrt{2} π$ と $3 \sqrt{2} π$ をたし算します。

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$

ステップ 3.3.2.5

$- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.5.1

$0$ を $8$ で割ります。

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + 0$

ステップ 3.3.2.5.2

$- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ と $0$ をたし算します。

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

$- 2$ と $\frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ を並べ替えます。

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - 2$

ステップ 3.3.3.2

項を並べ替えます。

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - 2$

ステップ 4

微分積分 例

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