微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 5$ と $y = \frac{1}{6}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4

微分します。

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ステップ 1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.2

${(x - 1)}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.6

式を簡約します。

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ステップ 1.4.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.6.2

${(x - 1)}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

ステップ 1.4.8

式を簡約します。

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ステップ 1.4.8.1

$\frac{1}{x - 1}$ に $0$ をかけます。

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

ステップ 1.4.8.2

${(x - 1)}^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

${(x - 1)}^{- 2}$

ステップ 1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.6

$x = - 5$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

ステップ 1.7

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 5$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

ステップ 1.7.2

$- 6$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{36}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{36}$ と与えられた点 $(- 5, \frac{1}{6})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{36}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{1}{36}$ と $5$ をまとめます。

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{6}$ を足します。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $36$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

ステップ 2.3.2.3.2

$6$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

ステップ 2.3.2.5

$5$ と $6$ をたし算します。

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例