微分積分例

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$f (x) = y^{2}$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.7

$2$ に $1$ をかけます。

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.8

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.9

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2.10

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 y$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

ステップ 1.2.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

ステップ 1.2.5

簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

項を並べ替えます。

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

ステップ 1.2.5.2

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ の因数を並べ替えます。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

ステップ 1.3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ の因数を並べ替えます。

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

ステップ 1.5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.5.2.1

方程式の両辺から $2 y^{2} e^{2 x}$ を引きます。

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

ステップ 1.5.2.2

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

ステップ 1.5.3

$2 y'$ を $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.3.1

$2 y'$ を $2 y y' e^{2 x}$ で因数分解します。

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

ステップ 1.5.3.2

$2 y'$ を $- 4 y'$ で因数分解します。

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

ステップ 1.5.3.3

$2 y'$ を $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ で因数分解します。

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

ステップ 1.5.4

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ の各項を $2 (y e^{2 x} - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.4.1

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ の各項を $2 (y e^{2 x} - 2)$ で割ります。

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.2.2

$y e^{2 x} - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.3.1.1.1

$2$ を $- 2 y^{2} e^{2 x}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

ステップ 1.5.4.3.1.3.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

ステップ 1.5.4.3.2

項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

ステップ 1.5.4.3.2.2

$- 1$ を $- y^{2} e^{2 x}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

ステップ 1.5.4.3.2.3

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

ステップ 1.5.4.3.2.4

$- 1$ を $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

ステップ 1.5.4.3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 1.5.4.3.2.5.1

$- (y^{2} e^{2 x} - x)$ を $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

ステップ 1.5.4.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

ステップ 1.7

$y = 4$ と $x = 0$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $4$ で置換えます。

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.3.1

$4^{2} e^{2 (0)}$ を ${(4 e^{0})}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.3.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4 e^{0}$ であり、 $b = 0$ です。

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.3.4

簡約します。

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ステップ 1.7.3.4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.3.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.3.4.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.3.4.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.3.4.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.3.4.6

$4$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

ステップ 1.7.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

$2$ に $0$ をかけます。

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

ステップ 1.7.4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

ステップ 1.7.4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

ステップ 1.7.4.4

$4$ から $2$ を引きます。

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

ステップ 1.7.5

式を簡約します。

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ステップ 1.7.5.1

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{16}{2}$

ステップ 1.7.5.2

$16$ を $2$ で割ります。

$- 1 \cdot 8$

ステップ 1.7.5.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 8$ と与えられた点 $(0, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 4 = - 8 x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = - 8 x + 4$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例