微分積分例

$y = \ln (x^{2} - 8)$ , $(3, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 8} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 1.2.3

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + 0)$

ステップ 1.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x)$

ステップ 1.2.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{2} - 8}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2} - 8} x$

ステップ 1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} - 8}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{x^{2} - 8}$

ステップ 1.3

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$\frac{2 (3)}{{(3)}^{2} - 8}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{3^{2} - 8}$

ステップ 1.4.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{6}{9 - 8}$

ステップ 1.4.2.2

$9$ から $8$ を引きます。

$\frac{6}{1}$

ステップ 1.4.3

$6$ を $1$ で割ります。

$6$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $6$ と与えられた点 $(3, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 6 \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 6 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 6 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.2

$6 \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = 6 x + 6 \cdot - 3$

ステップ 2.3.2.2

$6$ に $- 3$ をかけます。

$y = 6 x - 18$

ステップ 3

微分積分 例

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