微分積分例

$f (x) = \sqrt{x - 1}$ , $(5, 2)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 5$ と $y = 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

ステップ 1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.11.2

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12

$x = 5$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2 {((5) - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13

簡約します。

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ステップ 1.13.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.13.1.1

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.13.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.13.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.13.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

ステップ 1.13.1.5

指数を求めます。

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.13.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{4}$ と与えられた点 $(5, 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (2) = \frac{1}{4} \cdot (x - (5))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{4} \cdot (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 2 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{1}{4}$ と $- 5$ をまとめます。

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{- 5}{4}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 2 = \frac{x}{4} - \frac{5}{4}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 2$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.2.3

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 8}{4}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 5$ と $8$ をたし算します。

$y = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例