微分積分例

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = - 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{3}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.4.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

ステップ 1.4.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.6

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.7.1.2

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.7.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.7.1.4

$2$ を $1$ で割ります。

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.7.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.7.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.1.7

$2$ に $1$ をかけます。

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 1.7.2

公分母を求めます。

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ステップ 1.7.2.1

$- 9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 1.7.2.2

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 1.7.2.3

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 1.7.2.4

$- 2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

ステップ 1.7.2.5

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 1.7.2.6

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 1.7.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 1.7.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 1.7.4.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

ステップ 1.7.5

式を簡約します。

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ステップ 1.7.5.1

$- 18$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 22 - 1}{2}$

ステップ 1.7.5.2

$- 22$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 23}{2}$

ステップ 1.7.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{23}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{23}{2}$ と与えられた点 $(1, - 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{23}{2}$ をまとめます。

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.5

$- \frac{23}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

ステップ 2.3.1.5.2

$\frac{23}{2}$ に $1$ をかけます。

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

ステップ 2.3.1.6

$23$ を $x$ の左に移動させます。

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

ステップ 2.3.2.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

ステップ 2.3.2.5.2

$23$ から $4$ を引きます。

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例